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Solve 3 problem and find the sun infinite a. g.p give ans in english

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14 steps

यहाँ दिए गए तीन प्रश्नों को हल किया गया है:

समस्या 1:
दी गई श्रृंखला है:

S∞=3+6x+9x2+12x3+15x4+…S_{\infty} = 3 + 6x + 9x^2 + 12x^3 + 15x^4 + \dots

  1. श्रृंखला को SS मानिए और इसे xx से गुणा करके एक नई श्रृंखला बनाइए।

    S=3+6x+9x2+12x3+…(1)S = 3 + 6x + 9x^2 + 12x^3 + \dots \quad (1) xS=3x+6x2+9x3+…(2)xS = 3x + 6x^2 + 9x^3 + \dots \quad (2)

  2. समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाइए।

    S−xS=3+(6x−3x)+(9x2−6x2)+(12x3−9x3)+…S - xS = 3 + (6x - 3x) + (9x^2 - 6x^2) + (12x^3 - 9x^3) + \dots S(1−x)=3+3x+3x2+3x3+…S(1-x) = 3 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots

  3. दाहिनी ओर की श्रृंखला को सरल कीजिए। यह एक अनंत ज्यामितीय प्रगति (GP) है जिसका पहला पद 3 और सार्व अनुपात xx है।

    S(1−x)=3(1+x+x2+x3+… )S(1-x) = 3(1 + x + x^2 + x^3 + \dots)

    अनंत GP का योग a1−r\frac{a}{1-r} होता है, जहाँ a=1a=1 और r=xr=x है।

    S(1−x)=3(11−x)S(1-x) = 3 \left(\frac{1}{1-x}\right)

  4. SS के लिए हल कीजिए।

    S=3(1−x)2S = \frac{3}{(1-x)^2}

    अतः, अनंत योग है:

    3(1−x)2\boxed{\frac{3}{(1-x)^2}}

    समस्या 2:
    दी गई श्रृंखला है:

    S∞=1+3x+7x2+11x3+…S_{\infty} = 1 + 3x + 7x^2 + 11x^3 + \dots

  5. श्रृंखला को SS मानिए और इसे xx से गुणा करके एक नई श्रृंखला बनाइए।

    S=1+3x+7x2+11x3+…(1)S = 1 + 3x + 7x^2 + 11x^3 + \dots \quad (1) xS=x+3x2+7x3+11x4+…(2)xS = x + 3x^2 + 7x^3 + 11x^4 + \dots \quad (2)

  6. समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाइए।

    S−xS=1+(3x−x)+(7x2−3x2)+(11x3−7x3)+…S - xS = 1 + (3x - x) + (7x^2 - 3x^2) + (11x^3 - 7x^3) + \dots S(1−x)=1+2x+4x2+4x3+…S(1-x) = 1 + 2x + 4x^2 + 4x^3 + \dots

  7. दाहिनी ओर की श्रृंखला को सरल कीजिए। 4x2+4x3+…4x^2 + 4x^3 + \dots एक अनंत GP है जिसका पहला पद 4x24x^2 और सार्व अनुपात xx है।

    S(1−x)=1+2x+4x2(1+x+x2+… )S(1-x) = 1 + 2x + 4x^2(1 + x + x^2 + \dots) S(1−x)=1+2x+4x2(11−x)S(1-x) = 1 + 2x + 4x^2 \left(\frac{1}{1-x}\right)

  8. दाहिनी ओर के पदों को एक साथ जोड़िए।

    S(1−x)=(1+2x)(1−x)+4x21−xS(1-x) = \frac{(1+2x)(1-x) + 4x^2}{1-x} S(1−x)=1−x+2x−2x2+4x21−xS(1-x) = \frac{1 - x + 2x - 2x^2 + 4x^2}{1-x} S(1−x)=1+x+2x21−xS(1-x) = \frac{1 + x + 2x^2}{1-x}

  9. SS के लिए हल कीजिए।

    S=1+x+2x2(1−x)2S = \frac{1 + x + 2x^2}{(1-x)^2}

    अतः, अनंत योग है:

    1+x+2x2(1−x)2\boxed{\frac{1 + x + 2x^2}{(1-x)^2}}

    समस्या 3:
    दी गई श्रृंखला है:

    S∞=5x+7x2+9x3+…S_{\infty} = 5x + 7x^2 + 9x^3 + \dots

  10. श्रृंखला को SS मानिए और इसे xx से गुणा करके एक नई श्रृंखला बनाइए।

    S=5x+7x2+9x3+…(1)S = 5x + 7x^2 + 9x^3 + \dots \quad (1) xS=5x2+7x3+9x4+…(2)xS = 5x^2 + 7x^3 + 9x^4 + \dots \quad (2)

  11. समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाइए।

    S−xS=5x+(7x2−5x2)+(9x3−7x3)+…S - xS = 5x + (7x^2 - 5x^2) + (9x^3 - 7x^3) + \dots S(1−x)=5x+2x2+2x3+…S(1-x) = 5x + 2x^2 + 2x^3 + \dots

  12. दाहिनी ओर की श्रृंखला को सरल कीजिए। 2x2+2x3+…2x^2 + 2x^3 + \dots एक अनंत GP है जिसका पहला पद 2x22x^2 और सार्व अनुपात xx है।

    S(1−x)=5x+2x2(1+x+x2+… )S(1-x) = 5x + 2x^2(1 + x + x^2 + \dots) S(1−x)=5x+2x2(11−x)S(1-x) = 5x + 2x^2 \left(\frac{1}{1-x}\right)

  13. दाहिनी ओर के पदों को एक साथ जोड़िए।

    S(1−x)=5x(1−x)+2x21−xS(1-x) = \frac{5x(1-x) + 2x^2}{1-x} S(1−x)=5x−5x2+2x21−xS(1-x) = \frac{5x - 5x^2 + 2x^2}{1-x} S(1−x)=5x−3x21−xS(1-x) = \frac{5x - 3x^2}{1-x}

  14. SS के लिए हल कीजिए।

    S=5x−3x2(1−x)2S = \frac{5x - 3x^2}{(1-x)^2}

    अतः, अनंत योग है:

    5x−3x2(1−x)2\boxed{\frac{5x - 3x^2}{(1-x)^2}}
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