This English question involves literary analysis, grammar, or writing skills. The detailed response below provides a well-structured answer with supporting evidence and clear explanations.
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यहाँ दिए गए तीन प्रश्नों को हल किया गया है: समस्या 1: दी गई श्रृंखला है: S_ = 3 + 6x + 9x^2 + 12x^3 + 15x^4 + Step 1: श्रृंखला को S मानिए और इसे x से गुणा करके एक नई श्रृंखला बनाइए। S = 3 + 6x + 9x^2 + 12x^3 + (1) xS = 3x + 6x^2 + 9x^3 + (2) Step 2: समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाइए। S - xS = 3 + (6x - 3x) + (9x^2 - 6x^2) + (12x^3 - 9x^3) + S(1-x) = 3 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + Step 3: दाहिनी ओर की श्रृंखला को सरल कीजिए। यह एक अनंत ज्यामितीय प्रगति (GP) है जिसका पहला पद 3 और सार्व अनुपात x है। S(1-x) = 3(1 + x + x^2 + x^3 + ) अनंत GP का योग (a)/(1-r) होता है, जहाँ a=1 और r=x है। S(1-x) = 3 ((1)/(1-x)) Step 4: S के लिए हल कीजिए। S = (3)/((1-x)^2) अतः, अनंत योग है: (3)/((1-x)^2) समस्या 2: दी गई श्रृंखला है: S_ = 1 + 3x + 7x^2 + 11x^3 + Step 1: श्रृंखला को S मानिए और इसे x से गुणा करके एक नई श्रृंखला बनाइए। S = 1 + 3x + 7x^2 + 11x^3 + (1) xS = x + 3x^2 + 7x^3 + 11x^4 + (2) Step 2: समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाइए। S - xS = 1 + (3x - x) + (7x^2 - 3x^2) + (11x^3 - 7x^3) + S(1-x) = 1 + 2x + 4x^2 + 4x^3 + Step 3: दाहिनी ओर की श्रृंखला को सरल कीजिए। 4x^2 + 4x^3 + एक अनंत GP है जिसका पहला पद 4x^2 और सार्व अनुपात x है। S(1-x) = 1 + 2x + 4x^2(1 + x + x^2 + ) S(1-x) = 1 + 2x + 4x^2 ((1)/(1-x)) Step 4: दाहिनी ओर के पदों को एक साथ जोड़िए। S(1-x) = ((1+2x)(1-x) + 4x^2)/(1-x) S(1-x) = (1 - x + 2x - 2x^2 + 4x^2)/(1-x) S(1-x) = (1 + x + 2x^2)/(1-x) Step 5: S के लिए हल कीजिए। S = (1 + x + 2x^2)/((1-x)^2) अतः, अनंत योग है: (1 + x + 2x^2)/((1-x)^2) समस्या 3: दी गई श्रृंखला है: S_ = 5x + 7x^2 + 9x^3 + Step 1: श्रृंखला को S मानिए और इसे x से गुणा करके एक नई श्रृंखला बनाइए। S = 5x + 7x^2 + 9x^3 + (1) xS = 5x^2 + 7x^3 + 9x^4 + (2) Step 2: समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाइए। S - xS = 5x + (7x^2 - 5x^2) + (9x^3 - 7x^3) + S(1-x) = 5x + 2x^2 + 2x^3 + Step 3: दाहिनी ओर की श्रृंखला को सरल कीजिए। 2x^2 + 2x^3 + एक अनंत GP है जिसका पहला पद 2x^2 और सार्व अनुपात x है। S(1-x) = 5x + 2x^2(1 + x + x^2 + ) S(1-x) = 5x + 2x^2 ((1)/(1-x)) Step 4: दाहिनी ओर के पदों को एक साथ जोड़िए। S(1-x) = (5x(1-x) + 2x^2)/(1-x) S(1-x) = (5x - 5x^2 + 2x^2)/(1-x) S(1-x) = (5x - 3x^2)/(1-x) Step 5: S के लिए हल कीजिए। S = (5x - 3x^2)/((1-x)^2) अतः, अनंत योग है: (5x - 3x^2)/((1-x)^2) अगला प्रश्न भेजो 📸