This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: दी गई अनंत श्रेणी का सामान्य पद ज्ञात करें। दी गई श्रेणी है: 1 + (x)/(2) + (x^2)/(5) + (x^3)/(10) + (x^4)/(17) + इस श्रेणी का n-वाँ पद (जो x^n वाला पद है, n=0 से शुरू होकर) a_n = (x^n)/(n^2+1) है। (यहाँ n=0 के लिए a_0 = (x^0)/(0^2+1) = 1, n=1 के लिए a_1 = (x^1)/(1^2+1) = (x)/(2), आदि।) तो, a_n = (x^n)/(n^2+1) और a_n+1 = x^n+1(n+1)^2+1। Step 2: अनुपात परीक्षण (Ratio Test) लागू करें। अनुपात परीक्षण के लिए, हम _n | a_n+1a_n | की गणना करते हैं। चूंकि x > 0 दिया गया है, हम निरपेक्ष मान हटा सकते हैं। a_n+1a_n = x^n+1(n+1)^2+1(x^n)/(n^2+1) a_n+1a_n = x^n+1(n+1)^2+1 · (n^2+1)/(x^n) a_n+1a_n = x · (n^2+1)/((n+1)^2+1) a_n+1a_n = x · (n^2+1)/(n^2+2n+1+1) a_n+1a_n = x · (n^2+1)/(n^2+2n+2) Step 3: सीमा (limit) की गणना करें। L = _n ( x · (n^2+1)/(n^2+2n+2) ) अंश और हर दोनों से n^2 को बाहर निकालने पर: L = _n ( x · (n^2(1+1)/(n^2))n^2(1+(2)/(n)+(2)/(n^2)) ) L = x · (1+0)/(1+0+0) = x · 1 = x तो, L = x। Step 4: अनुपात परीक्षण के आधार पर अभिसरण का निर्धारण करें। • यदि L < 1, तो श्रेणी अभिसारी होती है। इसलिए, यदि x < 1, तो श्रेणी अभिसारी है। • यदि L > 1, तो श्रेणी अपसारी होती है। इसलिए, यदि x > 1, तो श्रेणी अपसारी है। • यदि L = 1, तो परीक्षण अनिर्णायक होता है। हमें x=1 के लिए अलग से जांच करनी होगी। Step 5: x=1 के लिए श्रेणी का परीक्षण करें। जब x=1 होता है, तो श्रेणी बन जाती है: _n=0^ (1^n)/(n^2+1) = _n=0^ (1)/(n^2+1) यह एक धनात्मक पदों वाली श्रेणी है। हम इसकी तुलना _n=1^ (1)/(n^2) से कर सकते हैं, जो एक अभिसारी p-श्रेणी है (क्योंकि p=2 > 1)। सीमा तुलना परीक्षण (Limit Comparison Test) का उपयोग करते हुए, a_n = (1)/(n^2+1) और b_n = (1)/(n^2) लेते हैं: _n (a_n)/(b_n) = _n (1)/(n^2+1)(1)/(n^2) = _n (n^2)/(n^2+1) _n (n^2)/(n^2+1) = _n (1)/(1+1)n^2 = (1)/(1+0) = 1 चूंकि सीमा 1 (एक परिमित धनात्मक संख्या) है और b_n अभिसारी है, तो a_n भी अभिसारी है। इसलिए, जब x=1, तो श्रेणी अभिसारी होती है। Step 6: निष्कर्ष निकालें और विकल्पों से मिलान करें। • यदि x < 1, तो श्रेणी अभिसारी है। • यदि x = 1, तो श्रेणी अभिसारी है। • यदि x > 1, तो श्रेणी अपसारी है। इन सभी को मिलाकर, श्रेणी अभिसारी होती है यदि x 1 और अपसारी होती है यदि x > 1। यह विकल्प (3) से मेल खाता है। The final answer is (3) अभिसारी यदि x 1 तथा अपसारी यदि x > 1. अगला प्रश्न भेजें 📸