अनंत श्रेणी 1 + x/2 + x2/5 + x3/10 + x4/17 + ... + xⁿ/(n2+1) + ... ; x > 0 अभिसारी है यदि

दी गई श्रेणी है:

इस श्रेणी का $n$-वाँ पद (जो $x^n$ वाला पद है, $n=0$ से शुरू होकर) $a_n = \frac{x^n}{n^2+1}$ है।
(यहाँ $n=0$ के लिए $a_0 = \frac{x^0}{0^2+1} = 1$, $n=1$ के लिए $a_1 = \frac{x^1}{1^2+1} = \frac{x}{2}$, आदि।)
तो, $a_n = \frac{x^n}{n^2+1}$ और $a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2+1}$।

अनुपात परीक्षण के लिए, हम $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ की गणना करते हैं।
चूंकि $x > 0$ दिया गया है, हम निरपेक्ष मान हटा सकते हैं।

अंश और हर दोनों से $n^2$ को बाहर निकालने पर:

तो, $L = x$।

• यदि $L < 1$, तो श्रेणी अभिसारी होती है। इसलिए, यदि $x < 1$, तो श्रेणी अभिसारी है।
• यदि $L > 1$, तो श्रेणी अपसारी होती है। इसलिए, यदि $x > 1$, तो श्रेणी अपसारी है।
• यदि $L = 1$, तो परीक्षण अनिर्णायक होता है। हमें $x=1$ के लिए अलग से जांच करनी होगी।

जब $x=1$ होता है, तो श्रेणी बन जाती है:

यह एक धनात्मक पदों वाली श्रेणी है। हम इसकी तुलना $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ से कर सकते हैं, जो एक अभिसारी p-श्रेणी है (क्योंकि $p=2 > 1$)।
सीमा तुलना परीक्षण (Limit Comparison Test) का उपयोग करते हुए, $a_n = \frac{1}{n^2+1}$ और $b_n = \frac{1}{n^2}$ लेते हैं:

चूंकि सीमा 1 (एक परिमित धनात्मक संख्या) है और $\sum b_n$ अभिसारी है, तो $\sum a_n$ भी अभिसारी है।
इसलिए, जब $x=1$, तो श्रेणी अभिसारी होती है।

• यदि $x < 1$, तो श्रेणी अभिसारी है।
• यदि $x = 1$, तो श्रेणी अभिसारी है।
• यदि $x > 1$, तो श्रेणी अपसारी है। इन सभी को मिलाकर, श्रेणी अभिसारी होती है यदि $x \le 1$ और अपसारी होती है यदि $x > 1$। यह विकल्प (3) से मेल खाता है।

The final answer is $\boxed{\text{(3) अभिसारी यदि } x \le 1 \text{ तथा अपसारी यदि } x > 1}$.