This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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यह प्रश्न क्रमचय और संचय (permutations and combinations) से संबंधित है। हमें दिए गए अंकों का उपयोग करके 10 लाख से बड़ी 7-अंकीय संख्याओं की संख्या ज्ञात करनी है। दिए गए अंक हैं: 2, 5, 0, 5, 4, 2, 5 इन अंकों की कुल संख्या 7 है। अंकों की आवृत्ति (frequency) इस प्रकार है: • 0: 1 बार • 2: 2 बार • 4: 1 बार • 5: 3 बार एक संख्या 10 लाख (1,000,000) से बड़ी होने के लिए, उसे 7-अंकीय संख्या होनी चाहिए और उसका पहला अंक 0 नहीं होना चाहिए। Step 1: इन 7 अंकों से बनने वाली सभी संभावित 7-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या ज्ञात करें। पुनरावृत्ति वाले अंकों के लिए क्रमचय का सूत्र (n!)/(n_1! n_2! n_k!) होता है, जहाँ n कुल अंकों की संख्या है और n_i प्रत्येक दोहराए गए अंक की आवृत्ति है। यहाँ n=7, n_2=2 (अंक 2 के लिए), n_5=3 (अंक 5 के लिए)। कुल क्रमचय = (7!)/(2! × 3!) = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/((2 × 1) × (3 × 2 × 1)) = (5040)/(2 × 6) = (5040)/(12) = 420 Step 2: उन संख्याओं की संख्या ज्ञात करें जो 0 से शुरू होती हैं। यदि पहला अंक 0 है, तो शेष 6 अंकों (2, 5, 5, 4, 2, 5) को व्यवस्थित करना होगा। इन 6 अंकों में, 2 दो बार और 5 तीन बार आता है। 0 से शुरू होने वाले क्रमचय = (6!)/(2! × 3!) = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/((2 × 1) × (3 × 2 × 1)) = (720)/(2 × 6) = (720)/(12) = 60 ये संख्याएँ वास्तव में 6-अंकीय संख्याएँ हैं और 10 लाख से बड़ी नहीं हैं। Step 3: 10 लाख से बड़ी संख्याओं की संख्या ज्ञात करें। यह कुल 7-अंकीय संख्याओं की संख्या में से उन संख्याओं की संख्या को घटाकर प्राप्त किया जाता है जो 0 से शुरू होती हैं। 10 लाख से बड़ी संख्याओं की संख्या = (कुल 7-अंकीय संख्याएँ) - (0 से शुरू होने वाली संख्याएँ) 10 लाख से बड़ी संख्याओं की संख्या = 420 - 60 = 360 यह विकल्प (A) से मेल खाता है। The final answer is A. 360 अगला प्रश्न भेजें 📸