अंकों 2, 5, 0, 5, 4, 2, 5 से 10 लाख से बड़ी बनने वाली संख्याओं की संख्या है- 2. "C + ... + C(n>r) is equal to

यह प्रश्न क्रमचय और संचय (permutations and combinations) से संबंधित है। हमें दिए गए अंकों का उपयोग करके 10 लाख से बड़ी 7-अंकीय संख्याओं की संख्या ज्ञात करनी है।

दिए गए अंक हैं: $2, 5, 0, 5, 4, 2, 5$ इन अंकों की कुल संख्या $7$ है। अंकों की आवृत्ति (frequency) इस प्रकार है: • $0$: $1$ बार • $2$: $2$ बार • $4$: $1$ बार • $5$: $3$ बार

एक संख्या 10 लाख ($1,000,000$) से बड़ी होने के लिए, उसे 7-अंकीय संख्या होनी चाहिए और उसका पहला अंक $0$ नहीं होना चाहिए।

Step 1: इन 7 अंकों से बनने वाली सभी संभावित 7-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या ज्ञात करें। पुनरावृत्ति वाले अंकों के लिए क्रमचय का सूत्र $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$ होता है, जहाँ $n$ कुल अंकों की संख्या है और $n_i$ प्रत्येक दोहराए गए अंक की आवृत्ति है। यहाँ $n=7$, $n_2=2$ (अंक 2 के लिए), $n_5=3$ (अंक 5 के लिए)। कुल क्रमचय = $\frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5040}{2 \times 6} = \frac{5040}{12} = 420$

Step 2: उन संख्याओं की संख्या ज्ञात करें जो $0$ से शुरू होती हैं। यदि पहला अंक $0$ है, तो शेष $6$ अंकों ($2, 5, 5, 4, 2, 5$) को व्यवस्थित करना होगा। इन $6$ अंकों में, $2$ दो बार और $5$ तीन बार आता है। $0$ से शुरू होने वाले क्रमचय = $\frac{6!}{2! \times 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{2 \times 6} = \frac{720}{12} = 60$ ये संख्याएँ वास्तव में 6-अंकीय संख्याएँ हैं और 10 लाख से बड़ी नहीं हैं।

Step 3: 10 लाख से बड़ी संख्याओं की संख्या ज्ञात करें। यह कुल 7-अंकीय संख्याओं की संख्या में से उन संख्याओं की संख्या को घटाकर प्राप्त किया जाता है जो $0$ से शुरू होती हैं। 10 लाख से बड़ी संख्याओं की संख्या = (कुल 7-अंकीय संख्याएँ) - (0 से शुरू होने वाली संख्याएँ) 10 लाख से बड़ी संख्याओं की संख्या = $420 - 60 = 360$

यह विकल्प (A) से मेल खाता है।

The final answer is $\boxed{A. 360}$ अगला प्रश्न भेजें 📸