28 Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J) Soit f la fonction définie sur R \ 2 par: f(x) = 5x+8 / 2-x. 1- Calcule lim f(x) puis interprète graphiquement le résultat. 2- Calcule lim f(x) puis interprète graphiquement le résultat.

Voici la résolution de l'exercice 26.

a) Calculer $\lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x+1}}{x-3}$

Step 1: Évaluer la limite par substitution directe. En substituant $x=3$, on obtient $\frac{2 - \sqrt{3+1}}{3-3} = \frac{2 - \sqrt{4}}{0} = \frac{2-2}{0} = \frac{0}{0}$, ce qui est une forme indéterminée.

Step 2: Multiplier par l'expression conjuguée du numérateur. Pour lever l'indétermination, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur, soit $2 + \sqrt{x+1}$. $\lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x+1}}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(2 - \sqrt{x+1})(2 + \sqrt{x+1})}{(x-3)(2 + \sqrt{x+1})}$ $= \lim_{x \to 3} \frac{2^2 - (\sqrt{x+1})^2}{(x-3)(2 + \sqrt{x+1})}$ $= \lim_{x \to 3} \frac{4 - (x+1)}{(x-3)(2 + \sqrt{x+1})}$ $= \lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{(x-3)(2 + \sqrt{x+1})}$

Step 3: Simplifier l'expression et calculer la limite. On remarque que $3-x = -(x-3)$. On peut donc simplifier par $(x-3)$ puisque $x \neq 3$ lorsque $x \to 3$. $= \lim_{x \to 3} \frac{-(x-3)}{(x-3)(2 + \sqrt{x+1})} = \lim_{x \to 3} \frac{-1}{2 + \sqrt{x+1}}$ Maintenant, on peut substituer $x=3$ : $= \frac{-1}{2 + \sqrt{3+1}} = \frac{-1}{2 + \sqrt{4}} = \frac{-1}{2 + 2} = \frac{-1}{4}$ La limite est $\boxed{-\frac{1}{4}}$.

b) Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \sqrt{x^2+1}}{x+1}$

Step 1: Évaluer la limite par substitution directe. Lorsque $x \to +\infty$, le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur tend vers $+\infty$. C'est une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

Step 2: Factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur. Pour le numérateur, on factorise $x^2$ sous la racine : $\sqrt{x^2+1} = \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$. Puisque $x \to +\infty$, $x$ est positif, donc $|x|=x$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x+1}$

Step 3: Diviser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré du dénominateur, qui est $x$. $= \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

Step 4: Calculer la limite. Lorsque $x \to +\infty$, $\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$, et $\frac{1}{x} \to 0$. $= \frac{0 + \sqrt{1 + 0}}{1 + 0} = \frac{\sqrt{1}}{1} = 1$ La limite est $\boxed{1}$.

c) Calculer $\lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \sqrt{x^2+1}}{x+1}$

Step 1: Évaluer la limite par substitution directe. Lorsque $x \to -\infty$, le numérateur tend vers $+\infty$ (car $\sqrt{x^2+1}$ domine le 2) et le dénominateur tend vers $-\infty$. C'est une forme indéterminée $\frac{\infty}{-\infty}$.

Step 2: Factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur. Pour le numérateur, on factorise $x^2$ sous la racine : $\sqrt{x^2+1} = \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$. Puisque $x \to -\infty$, $x$ est négatif, donc $|x|=-x$. $\lim_{x \to -\infty} \frac{2 - x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x+1}$

Step 3: Diviser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré du dénominateur, qui est $x$. $= \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{2}{x} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

Step 4: Calculer la limite. Lorsque $x \to -\infty$, $\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$, et $\frac{1}{x} \to 0$. $= \frac{0 - \sqrt{1 + 0}}{1 + 0} = \frac{-\sqrt{1}}{1} = -1$ La limite est $\boxed{-1}$.