29 Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J) Soit f la fonction définie sur [4; +∞[ par : f(x) = 2 + √x + 4

Voici la résolution de l'exercice 27.

a) Calculer $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\frac{\pi}{2} - x}$

Step 1: Évaluer la limite par substitution directe. En substituant $x = \frac{\pi}{2}$, on obtient $\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{0}$, ce qui est une forme indéterminée.

Step 2: Effectuer un changement de variable. Posons $h = x - \frac{\pi}{2}$. Lorsque $x \to \frac{\pi}{2}$, $h \to 0$. Alors $x = h + \frac{\pi}{2}$. L'expression devient : $\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h + \frac{\pi}{2})}{-h}$ On utilise la formule de trigonométrie $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$. Donc $\cos(h + \frac{\pi}{2}) = \cos h \cos(\frac{\pi}{2}) - \sin h \sin(\frac{\pi}{2}) = \cos h \cdot 0 - \sin h \cdot 1 = -\sin h$. La limite devient : $\lim_{h \to 0} \frac{-\sin h}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$

Step 3: Calculer la limite. C'est une limite fondamentale connue : $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ La limite est $\boxed{1}$.

b) Calculer $\lim_{x \to 3} \left(\frac{x+2}{x-3}\right)^2$

Step 1: Évaluer la limite de l'expression à l'intérieur de la parenthèse. Considérons $\lim_{x \to 3} \frac{x+2}{x-3}$. Lorsque $x \to 3$, le numérateur $x+2 \to 3+2 = 5$. Le dénominateur $x-3 \to 0$. Il faut étudier les limites à gauche et à droite de 3. Si $x \to 3^+$ (par valeurs supérieures à 3), alors $x-3 > 0$, donc $x-3 \to 0^+$. $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+2}{x-3} = \frac{5}{0^+} = +\infty$ Si $x \to 3^-$ (par valeurs inférieures à 3), alors $x-3 < 0$, donc $x-3 \to 0^-$. $\lim_{x \to 3^-} \frac{x+2}{x-3} = \frac{5}{0^-} = -\infty$

Step 2: Calculer la limite de l'expression au carré. Puisque l'expression est élevée au carré, le signe de l'infini n'a pas d'importance. $\lim_{x \to 3} \left(\frac{x+2}{x-3}\right)^2$ Si $\frac{x+2}{x-3} \to +\infty$, alors $\left(\frac{x+2}{x-3}\right)^2 \to (+\infty)^2 = +\infty$. Si $\frac{x+2}{x-3} \to -\infty$, alors $\left(\frac{x+2}{x-3}\right)^2 \to (-\infty)^2 = +\infty$. Dans les deux cas, la limite est $+\infty$. La limite est $\boxed{+\infty}$.

c) Calculer $\lim_{x \to -1} \frac{x^3+x^2+x+1}{x^2-1}$

Step 1: Évaluer la limite par substitution directe. En substituant $x = -1$: Numérateur : $(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0$. Dénominateur : $(-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$. C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

Step 2: Factoriser le numérateur et le dénominateur. Le dénominateur est une identité remarquable : $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Pour le numérateur, on peut factoriser par groupement : $x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1) + 1(x+1) = (x^2+1)(x+1)$ L'expression de la limite devient : $\lim_{x \to -1} \frac{(x^2+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

Step 3: Simplifier l'expression et calculer la limite. Puisque $x \to -1$, $x \neq -1$, donc $x+1 \neq 0$. On peut simplifier par $(x+1)$. $= \lim_{x \to -1} \frac{x^2+1}{x-1}$ Maintenant, on peut substituer $x = -1$: $= \frac{(-1)^2+1}{-1-1} = \frac{1+1}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$ La limite est $\boxed{-1}$.