माना कि A = 1, 2, 3, ..., n तो कितने ऐेक आच्छादी f:A→A परिभाषित हो सकते हैं ?

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यहाँ आपके प्रश्नों के हल दिए गए हैं: 47. sin(tan⁻¹ x) = , |x|<1 Step 1: tan⁻¹ x को θ मानिए। माना θ = tan⁻¹ x।; इसका अर्थ है tan θ = x। Step 2: एक समकोण त्रिभुज बनाइए। यदि tan θ = x/1 है, तो लंब (opposite) x है और आधार (adjacent) 1 है।; पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण (hypotenuse) √(x² + 1²) = √(x² + 1) होगा। Step 3: sin θ का मान ज्ञात कीजिए। sin θ = लंबकर्ण = (x)/(√(x² + 1))।; इसलिए, sin(tan⁻¹ x) = (x)/(√(1+x²))। यह विकल्प (A) से मेल खाता है। (A) (x)/(√(1+x²)) 48. sin⁻¹(2x√(1−x²)) = , (1)/(√(2)) ≤ x ≤ 1 Step 1: प्रतिस्थापन कीजिए। माना x = sin θ। तब θ = sin⁻¹ x। दी गई शर्त (1)/(√(2)) ≤ x ≤ 1 का अर्थ है (1)/(√(2)) ≤ sin θ ≤ 1। इससे (π)/(4) ≤ θ ≤ (π)/(2) प्राप्त होता है। Step 2: व्यंजक को सरल कीजिए। व्यंजक में x = sin θ रखने पर: sin⁻¹(2sin θ √(1−sin² θ)) हम जानते हैं कि 1−sin² θ = cos² θ। sin⁻¹(2sin θ √(cos² θ)) चूंकि (π)/(4) ≤ θ ≤ (π)/(2) है, cos θ ≥ 0 होगा, इसलिए √(cos² θ) = cos θ। sin⁻¹(2sin θ cos θ) हम जानते हैं कि 2sin θ cos θ = sin(2θ)। sin⁻¹(sin(2θ)) Step 3: sin⁻¹(sin(2θ)) का मान ज्ञात कीजिए। चूंकि (π)/(4) ≤ θ ≤ (π)/(2), तो 2 · (π)/(4) ≤ 2θ ≤ 2 · (π)/(2)। अर्थात (π)/(2) ≤ 2θ ≤ π। इस अंतराल में, sin⁻¹(sin y) = π − y होता है।; इसलिए, sin⁻¹(sin(2θ)) = π − 2θ। Step 4: θ को वापस x के पदों में लिखिए। π − 2sin⁻¹ x। हम जानते हैं कि sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = (π)/(2)।; इसलिए, sin⁻¹ x = (π)/(2) − cos⁻¹ x।; π − 2((π)/(2) − cos⁻¹ x) = π − π + 2cos⁻¹ x = 2cos⁻¹ x। यह विकल्प (B) से मेल खाता है। (B) 2cos⁻¹ x 49. 2(tan⁻¹ 2/5 + cot⁻¹ 2/5) = Step 1: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की पहचान का उपयोग कीजिए। हम जानते हैं कि tan⁻¹ y + cot⁻¹ y = (π)/(2) किसी भी वास्तविक संख्या y के लिए।; यहाँ, y = 2/5। Step 2: मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए। tan⁻¹ 2/5 + cot⁻¹ 2/5 = (π)/(2) दिए गए व्यंजक में इसे प्रतिस्थापित करने पर: 2((π)/(2)) = π यह विकल्प (B) से मेल खाता है। (B) π 50. माना कि A = 1, 2, 3, ..., n तो कितने एकैक आच्छादी फलन f: A → A परिभाषित हो सकते हैं? Step 1: एकैक आच्छादी फलन की परिभाषा। एक फलन f: A → A एकैक (one-to-one) और आच्छादी (onto) होता है यदि यह एक बाइजेक्शन (bijection) हो। एक बाइजेक्शन एक ऐसा फलन होता है जो डोमेन के प्रत्येक अवयव को कोडोमेन के एक अद्वितीय अवयव से जोड़ता है, और कोडोमेन का प्रत्येक अवयव डोमेन के एक अवयव का प्रतिबिंब होता है। Step 2: बाइजेक्शन की संख्या ज्ञात कीजिए। एक परिमित समुच्चय A जिसमें n अवयव हैं, से स्वयं A पर परिभाषित बाइजेक्शन की संख्या n अवयवों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या के बराबर होती है। यह n फैक्टोरियल (n!) के बराबर होता है। n! को n के रूप में भी दर्शाया जाता है। इसलिए, n अवयवों वाले समुच्चय A से A पर परिभाषित एकैक आच्छादी फलनों की संख्या n है। यह विकल्प (A) से मेल खाता है। (A) n

माना कि A = 1, 2, 3, ..., n तो कितने ऐेक आच्छादी f:A→A परिभाषित हो सकते हैं ?

Step-by-step solution

$\tan^{-1} x$ को $\theta$ मानिए।

एक समकोण त्रिभुज बनाइए।

$\sin \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रतिस्थापन कीजिए।

व्यंजक को सरल कीजिए।

$\sin^{-1}(\sin(2\theta))$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\theta$ को वापस $x$ के पदों में लिखिए।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की पहचान का उपयोग कीजिए।

मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए।

एकैक आच्छादी फलन की परिभाषा।

बाइजेक्शन की संख्या ज्ञात कीजिए।

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Step-by-step solution

tan⁡−1x\tan^{-1} xtan−1x को θ\thetaθ मानिए।

एक समकोण त्रिभुज बनाइए।

sin⁡θ\sin \thetasinθ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रतिस्थापन कीजिए।

व्यंजक को सरल कीजिए।

sin⁡−1(sin⁡(2θ))\sin^{-1}(\sin(2\theta))sin−1(sin(2θ)) का मान ज्ञात कीजिए।

θ\thetaθ को वापस xxx के पदों में लिखिए।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की पहचान का उपयोग कीजिए।

मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए।

एकैक आच्छादी फलन की परिभाषा।

बाइजेक्शन की संख्या ज्ञात कीजिए।

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$\tan^{-1} x$ को $\theta$ मानिए।

$\sin \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sin^{-1}(\sin(2\theta))$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\theta$ को वापस $x$ के पदों में लिखिए।