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Question

Apply Kaprekar's routine to the following 3-digit numbers and state the number of steps taken to reach Kaprekar constant.

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नमस्ते मनीषा,

आपने वही तस्वीर फिर से भेजी है। मैं आपके लिए इन प्रश्नों को फिर से हल कर रहा हूँ।

1. कप्रेकर की दिनचर्या (3-अंकीय संख्याएँ):
कप्रेकर की दिनचर्या में, एक 3-अंकीय संख्या (जिसके सभी अंक समान न हों) से सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ बनाई जाती हैं, और फिर उन्हें घटाया जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कप्रेकर स्थिरांक 495 प्राप्त न हो जाए।

a) 743

संख्या 743 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$743 - 347 = 396$
396 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$963 - 369 = 594$
594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$954 - 459 = 495$
495 तक पहुँचने में 3 चरण लगे।

b) 365
संख्या 365 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$653 - 356 = 297$
297 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$972 - 279 = 693$
693 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$963 - 369 = 594$
594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$954 - 459 = 495$
495 तक पहुँचने में 4 चरण लगे।

c) 901
संख्या 901 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$910 - 019 = 891$
891 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$981 - 189 = 792$
792 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$972 - 279 = 693$
693 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$963 - 369 = 594$
594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$954 - 459 = 495$
495 तक पहुँचने में 5 चरण लगे।

d) 537
संख्या 537 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$753 - 357 = 396$
396 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$963 - 369 = 594$
594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$954 - 459 = 495$
495 तक पहुँचने में 3 चरण लगे।

2. अधिकतम और न्यूनतम चरण (3-अंकीय संख्याएँ):
ऊपर दिए गए परिणामों की तुलना करें।
- 743: 3 चरण
- 365: 4 चरण
- 901: 5 चरण
- 537: 3 चरण अधिकतम चरण: 901 (5 चरण) न्यूनतम चरण: 743 और 537 (3 चरण) $\boxed{\text{अधिकतम चरण: } \textbf{901}, \text{ न्यूनतम चरण: } \textbf{743} \text{ और } \textbf{537}}$
3. कप्रेकर की दिनचर्या (4-अंकीय संख्याएँ):
कप्रेकर की दिनचर्या में, एक 4-अंकीय संख्या (जिसके सभी अंक समान न हों) से सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ बनाई जाती हैं, और फिर उन्हें घटाया जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कप्रेकर स्थिरांक 6174 प्राप्त न हो जाए।

a) 2143
संख्या 2143 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$4321 - 1234 = 3087$
3087 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$8730 - 0378 = 8352$
8352 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$8532 - 2358 = 6174$
6174 तक पहुँचने में 3 चरण लगे।

b) 6753
संख्या 6753 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$7653 - 3567 = 4086$
4086 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$8640 - 0468 = 8172$
8172 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$8721 - 1278 = 7443$
7443 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$7443 - 3447 = 3996$
3996 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$9963 - 3699 = 6264$
6264 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$6642 - 2466 = 4176$
4176 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$7641 - 1467 = 6174$
6174 तक पहुँचने में 7 चरण लगे।

c) 3987
संख्या 3987 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$9873 - 3789 = 6084$
6084 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$8640 - 0468 = 8172$
8172 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$8721 - 1278 = 7443$
7443 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$7443 - 3447 = 3996$
3996 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$9963 - 3699 = 6264$
6264 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$6642 - 2466 = 4176$
4176 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$7641 - 1467 = 6174$
6174 तक पहुँचने में 7 चरण लगे।

d) 2377
संख्या 2377 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$7732 - 2377 = 5355$
5355 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$5553 - 3555 = 1998$
1998 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$9981 - 1899 = 8082$
8082 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$8820 - 0288 = 8532$
8532 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।
$8532 - 2358 = 6174$
6174 तक पहुँचने में 5 चरण लगे।

4. अधिकतम चरण (4-अंकीय संख्याएँ):
ऊपर दिए गए परिणामों की तुलना करें।
- 2143: 3 चरण
- 6753: 7 चरण
- 3987: 7 चरण
- 2377: 5 चरण अधिकतम चरण: 6753 और 3987 (7 चरण) $\boxed{\text{अधिकतम चरण: } \textbf{6753} \text{ और } \textbf{3987}}$
5. HH:MM घड़ी पर पैलिंड्रोमिक समय और HH:MM:SS घड़ी पर पैलिंड्रोमिक समय:

a) दो पैलिंड्रोमिक समयों के बीच सबसे छोटा अंतराल (HH:MM):
HH:MM प्रारूप में पैलिंड्रोमिक समयों की सूची बनाएँ।
कुछ पैलिंड्रोमिक समय हैं: 1:01, 1:11, ..., 9:59, 10:01, 11:11, 12:21।
सबसे छोटे अंतराल की पहचान करें।
9:59 के बाद अगला पैलिंड्रोमिक समय 10:01 है।
$10:01 - 9:59 = 2$ मिनट।
$\boxed{\text{सबसे छोटा अंतराल: } \textbf{2 मिनट}}$

b) दोपहर से आधी रात तक (HH:MM:SS) कितने पैलिंड्रोमिक समय हैं?
दोपहर से आधी रात तक का मतलब 12:00:00 PM से 11:59:59 PM तक है। अनपैडेड अंक (जैसे 5:25 के बजाय 05:25) की अनुमति है।
एकल-अंकीय घंटे (1-9) के लिए पैलिंड्रोमिक समयों की गणना करें।
एकल-अंकीय घंटे H:MM:SS के लिए, पैलिंड्रोम होने के लिए $H = S_2$ और $M_1 = S_1$ होना चाहिए।
- $H$ के लिए 9 विकल्प (1 से 9)।
- $M_1$ के लिए 6 विकल्प (0 से 5)।
- $M_2$ के लिए 10 विकल्प (0 से 9)।
- $S_1$ और $S_2$ क्रमशः $M_1$ और $H$ द्वारा निर्धारित होते हैं। प्रत्येक घंटे के लिए $6 \times 10 = 60$ पैलिंड्रोमिक समय। कुल एकल-अंकीय घंटे: $9 \times 60 = 540$ पैलिंड्रोमिक समय।
दो-अंकीय घंटे (10, 11, 12) के लिए पैलिंड्रोमिक समयों की गणना करें।
दो-अंकीय घंटे HH:MM:SS के लिए, पैलिंड्रोम होने के लिए $H_1 = S_2$ , $H_2 = S_1$ और $M_1 = M_2$ होना चाहिए।
- HH = 10: $H_1=1, H_2=0$ . तो $S_2=1, S_1=0$ (SS = 01)। $M_1=M_2$ (00, 11, 22, 33, 44, 55)। 6 समय।
- HH = 11: $H_1=1, H_2=1$ . तो $S_2=1, S_1=1$ (SS = 11)। $M_1=M_2$ (00, 11, 22, 33, 44, 55)। 6 समय।
- HH = 12: $H_1=1, H_2=2$ . तो $S_2=1, S_1=2$ (SS = 21)। $M_1=M_2$ (00, 11, 22, 33, 44, 55)। 6 समय। कुल दो-अंकीय घंटे: $6 + 6 + 6 = 18$ पैलिंड्रोमिक समय।
कुल पैलिंड्रोमिक समयों की गणना करें।
कुल पैलिंड्रोमिक समय (दोपहर से आधी रात तक): $540 + 18 = 558$ .
$\boxed{\text{कुल पैलिंड्रोमिक समय: } \textbf{558}}$

6. कार का ओडोमीटर:
वर्तमान ओडोमीटर रीडिंग 72927 है, जो एक पैलिंड्रोमिक संख्या है। अगली तत्काल पैलिंड्रोमिक संख्या ज्ञात करें।
एक 5-अंकीय पैलिंड्रोम $abcba$ के रूप में होता है। वर्तमान संख्या 72927 है।
अगली पैलिंड्रोमिक संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें मध्य अंकों को बढ़ाना होगा।
72927 में, मध्य अंक '9' है। यदि हम इसे बढ़ाते हैं, तो यह '10' हो जाएगा, जिसका अर्थ है कि हमें '2' को '3' में बढ़ाना होगा।
तो, अगली पैलिंड्रोमिक संख्या 73037 है।
इस संख्या तक पहुँचने में कितने किलोमीटर लगेंगे, इसकी गणना करें।
आवश्यक किलोमीटर $= 73037 - 72927 = 110$ किलोमीटर।
$\boxed{\text{अगली पैलिंड्रोमिक संख्या: } \textbf{73037}, \text{ आवश्यक किलोमीटर: } \textbf{110}}$

Apply Kaprekar's routine to the following 3-digit numbers and state the number of steps taken to reach Kaprekar constant.

Step-by-step solution

संख्या 743 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

396 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

संख्या 365 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

297 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

693 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

संख्या 901 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

891 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

792 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

693 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

संख्या 537 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

396 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

ऊपर दिए गए परिणामों की तुलना करें।

संख्या 2143 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

3087 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

8352 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

संख्या 6753 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

4086 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

8172 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

7443 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

3996 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

6264 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

4176 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

संख्या 3987 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

6084 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

8172 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

7443 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

3996 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

6264 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

4176 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

संख्या 2377 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

5355 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

1998 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

8082 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

8532 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें और घटाएँ।

ऊपर दिए गए परिणामों की तुलना करें।

HH:MM प्रारूप में पैलिंड्रोमिक समयों की सूची बनाएँ।

सबसे छोटे अंतराल की पहचान करें।

एकल-अंकीय घंटे (1-9) के लिए पैलिंड्रोमिक समयों की गणना करें।

दो-अंकीय घंटे (10, 11, 12) के लिए पैलिंड्रोमिक समयों की गणना करें।

कुल पैलिंड्रोमिक समयों की गणना करें।

वर्तमान ओडोमीटर रीडिंग 72927 है, जो एक पैलिंड्रोमिक संख्या है। अगली तत्काल पैलिंड्रोमिक संख्या ज्ञात करें।

इस संख्या तक पहुँचने में कितने किलोमीटर लगेंगे, इसकी गणना करें।

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