Ataovy corrigé feno ity exercice/ity sujet ity. Vakio tsara aloha ny sary na ny PDF. Valio tsikelikely (étape…

Question

Ataovy corrigé feno ity exercice/ity sujet ity. Vakio tsara aloha ny sary na ny PDF. Valio tsikelikely (étape par étape) ny fanontaniana rehetra, tsy misy dingana esorina. Hazavao ny antony sy ny formule ampiasaina isaky ny dingana. Asehoy mazava ny calcul rehetra. Soraty amin'ny endrika madio sy voalamina, mifanaraka amin'ny fandaharam-pianarana eto Madagasikara. Raha matematika dia ataovy ny domaine de définition, dérivée, tableau de variation, limites, équation de tangente, coordonnées des points remarquables, asymptotes raha misy, ary traceo amin'ny sary mazava ny courbe miaraka amin'ny axes sy ny tangente. Raha tantara na taranja hafa kosa dia manorata valiny feno misy fampidirana, fampivoarana ary famaranana rehefa ilaina. Aza mitsambikina dingana, ary ataovy toy ny corrigé officiel azon'ny mpianatra ianarana. Ataovy amin'ny antsipiriany indrindra (niveau professeur). Hazavao ny dingana rehetra, na dia tsotra aza. Raha lava ny valiny dia tohizo ho azy mandra-pahavita ny sujet manontolo, fa aza miandry a

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Salama Augustin,

Andao hovaliana ity laza adina matematika ity araka ny fenitra ofisialy sy amin'ny antsipiriany.

FANDINIHANA OLANA (10 pts)

Dinihina ny asa $f$ faritana amin'ny $[0; +\infty[$ amin'ny alalan'ny $f(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$ .
Marihina amin'ny $(C)$ ny sariny ao anaty repère orthonormé iray, miaraka amin'ny singa 1 cm.

1) a) Hamarinina fa, ho an'ny $x \ge 0$ rehetra, $f(x) = 4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right)$ .

Dingana 1: Raisina ny endrika faharoa ary atao mitovy anarana.

4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right) = 4\left(\frac{e^x+1}{e^x+1} - \frac{1}{e^x+1}\right)

Dingana 2: Ampifandraisina ny ampahany.

4\left(\frac{e^x+1-1}{e^x+1}\right) = 4\left(\frac{e^x}{e^x+1}\right)

Dingana 3: Ampitomboina.

4\left(\frac{e^x}{e^x+1}\right) = \frac{4e^x}{e^x+1}

Hitantsika fa mitovy amin'ny $f(x)$ ny valiny.
Noho izany, voamarina fa $f(x) = 4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right)$ .

1) b) Azo tsoahina ny $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Dingana 1: Dinihina ny fitondran-tenan'ny $e^x$ rehefa $x \to +\infty$ .
Rehefa $x \to +\infty$ , dia $e^x \to +\infty$ .

Dingana 2: Dinihina ny fitondran-tenan'ny $e^x+1$ .
Noho izany, $e^x+1 \to +\infty$ .

Dingana 3: Dinihina ny fitondran-tenan'ny $\frac{1}{e^x+1}$ .
Koa satria $e^x+1 \to +\infty$ , dia $\frac{1}{e^x+1} \to 0$ .

Dingana 4: Kajiana ny fetran'ny $f(x)$ .
Ampiasaina ny endrika $f(x) = 4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right)$ :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 4\left(1 - \frac{1}{e^x+1}\right) = 4(1-0) = 4

Noho izany, $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4}$ .

1) c) Adika ara-grafika io vokatra io.

Famaritana: Raha toa ka $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ , dia ny tsipika mahitsy $y=L$ dia asymptote marindrano (asymptote horizontale) ho an'ny sarin'ny asa $(C)$ any amin'ny $+\infty$ .
Adika: Koa satria $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$ , dia ny tsipika mahitsy $\boxed{y=4 \text{ dia asymptote marindrano ho an'ny }(C) \text{ any amin'ny } +\infty}$ .

2) a) Asehoy fa, ho an'ny $x \ge 0$ rehetra, $f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x+1)^2}$ , izay $f'$ no dérivée première an'ny $f$ .

Dingana 1: Fantarina ny endriky ny asa sy ny formule ampiasaina.
Ny $f(x)$ dia amin'ny endrika $\frac{u(x)}{v(x)}$ , ka ny dérivée-ny dia $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$ .
Eto, $u(x) = 4e^x$ ary $v(x) = e^x+1$ .

Dingana 2: Kajiana ny dérivée an'ny $u(x)$ sy $v(x)$ .
$u'(x) = (4e^x)' = 4e^x$ .
$v'(x) = (e^x+1)' = e^x$ .

Dingana 3: Ampiharina ny formule an'ny dérivée.

f'(x) = \frac{(4e^x)(e^x+1) - (4e^x)(e^x)}{(e^x+1)^2}

Dingana 4: Atao tsotra ny expression.

f'(x) = \frac{4e^{2x} + 4e^x - 4e^{2x}}{(e^x+1)^2}

f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x+1)^2}

Noho izany, voaporofo fa $\boxed{f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x+1)^2}}$ .

2) b) Rehefa avy nodinihina ny fiovan'ny $f$ , dia atao ny tableau de variation-ny.

Dingana 1: Dinihina ny famantarana ny $f'(x)$ .
Ho an'ny $x \ge 0$ :

$e^x > 0$ foana.
$(e^x+1)^2 > 0$ foana (satria $e^x+1 > 1$ ). Koa satria ny isa ambony sy ambany dia samy positif, dia $f'(x) = \frac{4e^x}{(e^x+1)^2} > 0$ ho an'ny $x \ge 0$ rehetra.

Dingana 2: Tsoahina ny fiovan'ny $f$ .
Koa satria $f'(x) > 0$ amin'ny $[0; +\infty[$ , dia $\boxed{f \text{ dia miakatra (strictement croissante) amin'ny } [0; +\infty[}$ .

Dingana 3: Kajiana ny sary amin'ny $x=0$ .

f(0) = \frac{4e^0}{e^0+1} = \frac{4 \times 1}{1+1} = \frac{4}{2} = 2

Dingana 4: Atambatra ny tableau de variation.

$x$	0	$+\infty$
$f'(x)$		$+$
Fiovan'ny $f(x)$	2	$\nearrow$
		4

3) a) Kajiana amin'ny $10^{-2}$ près: $f(0)$ ; $f(1)$ ; $f(2)$ .

Dingana 1: Kajiana ny $f(0)$ .
Efa voakajy teo aloha: $f(0) = 2$ .

Dingana 2: Kajiana ny $f(1)$ .

f(1) = \frac{4e^1}{e^1+1} = \frac{4e}{e+1}

Ampiasaina ny $e \approx 2.7$ :

f(1) \approx \frac{4 \times 2.7}{2.7+1} = \frac{10.8}{3.7} \approx 2.9189...

Amin'ny $10^{-2}$ près, $\boxed{f(1) \approx 2.92}$ .

Dingana 3: Kajiana ny $f(2)$ .

f(2) = \frac{4e^2}{e^2+1}

Ampiasaina ny $e^2 \approx 7.38$ :

f(2) \approx \frac{4 \times 7.38}{7.38+1} = \frac{29.52}{8.38} \approx 3.5226...

Amin'ny $10^{-2}$ près, $\boxed{f(2) \approx 3.52}$ .

3) b) Soraty ny équation de la tangente $(T)$ amin'ny $(C)$ eo amin'ny point d'abscisse $x_0=0$ .

Dingana 1: Fantarina ny formule an'ny équation de la tangente.
Ny équation de la tangente $(T)$ amin'ny $(C)$ eo amin'ny point d'abscisse $x_0$ dia:

y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)

Eto, $x_0=0$ .

Dingana 2: Kajiana ny $f(0)$ sy $f'(0)$ .
Efa voakajy teo aloha: $f(0) = 2$ .
Kajiana ny $f'(0)$ :

f'(0) = \frac{4e^0}{(e^0+1)^2} = \frac{4 \times 1}{(1+1)^2} = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1

Dingana 3: Soloy ny soatoavina ao anaty formule.

y = 1(x-0) + 2

y = x+2

Noho izany, ny équation de la tangente $(T)$ dia $\boxed{y = x+2}$ .

4) Tracena $(T)$ sy $(C)$ , miaraka amin'ny asymptote-ny, ao anaty repère iray ihany.

Dingana 1: Manao ny repère orthonormé.
Ampiasaina ny singa 1 cm isaky ny axe.

Dingana 2: Manao ny asymptote.
Ny asymptote marindrano dia $y=4$ . Tracena ity tsipika ity.

Dingana 3: Manao ny tangente $(T)$ .
Ny équation-ny dia $y=x+2$ .

Mandalo amin'ny point $(0, f(0)) = (0, 2)$ .
Raha $x=1$ , $y=1+2=3$ . Mandalo amin'ny point $(1, 3)$ . Tracena ny tsipika mahitsy mandalo amin'ireo point roa ireo.

Dingana 4: Manao ny courbe $(C)$ .

Ny courbe dia mandalo amin'ny point $(0, 2)$ .
Ny courbe dia miakatra foana amin'ny $[0; +\infty[$ .
Ny courbe dia manakaiky ny asymptote $y=4$ rehefa $x \to +\infty$ .
Ampiasaina ny point fanampiny voakajy: $(1, 2.92)$ sy $(2, 3.52)$ . Tracena ny courbe $(C)$ manomboka amin'ny $(0,2)$ , miakatra ary manakaiky ny $y=4$ .

(Jereo ny sary eo ambany ho an'ny graphique)

graph TD
    A[Start Graph] --> B(Draw x-axis and y-axis, 1cm unit);
    B --> C(Plot point (0,2));
    C --> D(Draw horizontal asymptote y=4);
    D --> E(Draw tangent line y=x+2 passing through (0,2) and (1,3));
    E --> F(Plot additional points: (1, 2.92), (2, 3.52));
    F --> G(Sketch curve (C) starting from (0,2), increasing and approaching y=4);
    G --> H[End Graph];

(Sary: Repère orthonormé misy ny axe x sy y. Ny tsipika $y=4$ dia asymptote marindrano. Ny tsipika $y=x+2$ dia tangente eo amin'ny $(0,2)$ . Ny courbe $(C)$ dia manomboka eo amin'ny $(0,2)$ , miakatra ary manakaiky ny $y=4$ .)

5) Dinihina ny asa $F$ faritana amin'ny $[0; +\infty[$ amin'ny alalan'ny $F(x) = 4\ln(e^x+1)$ .

5) a) Tsiahivina fa $(\ln U)' = \frac{U'}{U}$ . Asehoy fa $F$ dia primitive an'ny $f$ .

Dingana 1: Kajiana ny dérivée an'ny $F(x)$ .
Mba hanehoana fa $F$ dia primitive an'ny $f$ , dia tsy maintsy asehontsika fa $F'(x) = f(x)$ .
Ny $F(x)$ dia amin'ny endrika $4\ln(U)$ , ka ny dérivée-ny dia $4 \times \frac{U'}{U}$ .
Eto, $U = e^x+1$ .

Dingana 2: Kajiana ny $U'$ .
$U' = (e^x+1)' = e^x$ .

Dingana 3: Ampiharina ny formule an'ny dérivée.

F'(x) = 4 \times \frac{e^x}{e^x+1}

F'(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}

Dingana 4: Ampitahaina amin'ny $f(x)$ .
Hitantsika fa $F'(x) = f(x)$ .
Noho izany, voaporofo fa $\boxed{F \text{ dia primitive an'ny } f}$ .

5) b) Tsoahina, amin'ny cm $^2$ ary amin'ny $10^{-2}$ près, ny velaran'ny domaine plan voafetran'ny courbe $(C)$ , ny axe des abscisses, ary ny tsipika $x=0$ sy $x=2$ .

Dingana 1: Fantarina ny formule an'ny velarana.
Koa satria $f(x) = \frac{4e^x}{e^x+1} > 0$ amin'ny $[0; +\infty[$ , ny courbe $(C)$ dia eo ambony ny axe des abscisses.
Ny velarana $A$ dia omena amin'ny alalan'ny intégrale définie:

A = \int_0^2 f(x)\,dx

Dingana 2: Ampiasaina ny primitive $F(x)$ .

A = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0)

Dingana 3: Kajiana ny $F(2)$ sy $F(0)$ .

F(2) = 4\ln(e^2+1)

F(0) = 4\ln(e^0+1) = 4\ln(1+1) = 4\ln(2)

Dingana 4: Kajiana ny velarana $A$ .

A = 4\ln(e^2+1) - 4\ln(2)

Ampiasaina ny soatoavina omena: $\ln(e^2+1) \approx 2.12$ ary $\ln 2 \approx 0.7$ .

A \approx 4(2.12 - 0.7)

A \approx 4(1.42)

A \approx 5.68

Dingana 5: Ampidirina ny unité.
Koa satria 1 cm ny singa grafika, ny velarana dia amin'ny cm $^2$ .
Noho izany, ny velarana $A$ dia $\boxed{A \approx 5.68 \text{ cm}^2}$ .

POUR A2 SEULEMENT

6) Dinihina ny asa $G$ faritana amin'ny $\mathbb{R}$ amin'ny alalan'ny $G(x) = \frac{4e^x}{e^x+1}$ . Marihina amin'ny $(\Gamma)$ ny sariny.

6) a) Asehoy fa ho an'ny isa tena izy $x$ rehetra, $G(-x) + G(x) = 4$ . Inona no dikan'io vokatra io ho an'ny courbe $(\Gamma)$ ?

Dingana 1: Kajiana ny $G(-x)$ .

G(-x) = \frac{4e^{-x}}{e^{-x}+1}

Dingana 2: Atao tsotra ny $G(-x)$ amin'ny fampitomboana ny isa ambony sy ambany amin'ny $e^x$ .

G(-x) = \frac{4e^{-x} \cdot e^x}{(e^{-x}+1) \cdot e^x} = \frac{4e^0}{e^0+e^x} = \frac{4}{1+e^x}

Dingana 3: Kajiana ny $G(-x) + G(x)$ .

G(-x) + G(x) = \frac{4}{1+e^x} + \frac{4e^x}{e^x+1}

G(-x) + G(x) = \frac{4+4e^x}{e^x+1}

G(-x) + G(x) = \frac{4(1+e^x)}{e^x+1}

G(-x) + G(x) = 4

Noho izany, voaporofo fa $\boxed{G(-x) + G(x) = 4}$ .

Dingana 4: Adika ny dikan'io vokatra io.
Raha toa ka $G(-x) + G(x) = 2b$ , dia ny point $(0, b)$ dia ivon-kifanarahana (centre de symétrie) ho an'ny courbe.
Eto, $2b=4$ , ka $b=2$ .
Noho izany, ny point $\boxed{(0, 2) \text{ dia ivon-kifanarahana ho an'ny courbe }(\Gamma)}$ .

6) b) Tracena, avy amin'ny courbe $(C)$ , ny courbe $(\Gamma)$ ao anaty repère iray ihany.

Dingana 1: Fantarina ny fifandraisan'ny $(C)$ sy $(\Gamma)$ .
Ny asa $G(x)$ dia mitovy amin'ny $f(x)$ , saingy faritana amin'ny $\mathbb{R}$ manontolo. Noho izany, $(\Gamma)$ dia fanitarana an'ny $(C)$ ho an'ny $x < 0$ .

Dingana 2: Ampiasaina ny ivon-kifanarahana.
Efa voatracena ny $(C)$ ho an'ny $x \ge 0$ . Mba hahazoana ny $(\Gamma)$ ho an'ny $x < 0$ , dia ampiasaina ny ivon-kifanarahana $(0,2)$ . Ny point rehetra $(x, G(x))$ amin'ny $x > 0$ dia manana symétrique $( -x, 4-G(x) )$ amin'ny $x < 0$ manoloana ny $(0,2)$ .

Dingana 3: Kajiana ny fetra any amin'ny $-\infty$ .

\lim_{x \to -\infty} G(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{4e^x}{e^x+1}

Rehefa $x \to -\infty$ , $e^x \to 0$ .
Koa satria $e^x \to 0$ , dia:

\lim_{x \to -\infty} G(x) = \frac{4 \times 0}{0+1} = 0

Noho izany, ny tsipika mahitsy $\boxed{y=0 \text{ (axe des abscisses) dia asymptote marindrano ho an'ny }(\Gamma) \text{ any amin'ny } -\infty}$ .

Dingana 4: Tracena ny $(\Gamma)$ .

Ny $(\Gamma)$ dia manomboka amin'ny asymptote $y=0$ any amin'ny $-\infty$ .
Miakatra hatrany izy, mandalo amin'ny ivon-kifanarahana $(0,2)$ .
Manaraka ny endriky ny $(C)$ ho an'ny $x \ge 0$ , manakaiky ny asymptote $y=4$ any amin'ny $+\infty$ .
Ny ampahany amin'ny courbe ho an'ny $x < 0$ dia azo amin'ny alalan'ny symétrie centrale manoloana ny point $(0,2)$ amin'ny ampahany ho an'ny $x > 0$ .

(Jereo ny sary eo ambany ho an'ny graphique feno)

(Sary: Repère orthonormé misy ny axe x sy y. Ny tsipika $y=0$ sy $y=4$ dia asymptotes marindrano. Ny tsipika $y=x+2$ dia tangente eo amin'ny $(0,2)$ . Ny courbe $(\Gamma)$ dia manomboka eo amin'ny $y=0$ any amin'ny $-\infty$ , miakatra, mandalo amin'ny $(0,2)$ (ivon-kifanarahana), ary manakaiky ny $y=4$ any amin'ny $+\infty$ .)

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions