Comment étudier le signe d'un polynôme du second degré et résoudre une équation vectorielle liée à la distance entre deux points ?

Nous utilisons le discriminant $\Delta$ pour trouver les racines de l'équation quadratique $ax^2 + bx + c = 0$.
Pour $P(x) = x^2 + 3x - 4$, nous avons $a=1$, $b=3$, $c=-4$.

$$\Delta = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$$

Puisque $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes:

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Le coefficient $a$ de $x^2$ est 1, qui est positif. Par conséquent, la parabole s'ouvre vers le haut.
Le signe de $P(x)$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.

$x$	$-\infty$	$-4$	1	$+\infty$
$P(x)$	$+$	0	$-$	0	$+$

• Si $x \in ]-\infty, -4[ \cup ]1, +\infty[$, alors $P(x) > 0$.
• Si $x \in ]-4, 1[$, alors $P(x) < 0$.
• Si $x = -4$ ou $x = 1$, alors $P(x) = 0$.

2/ Détermination de l'ensemble des points M tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = x^2 + 3x - 5$, avec $AB = 9$

Soit O le milieu du segment $[AB]$.
La relation de Chasles nous donne $\vec{MA} = \vec{MO} + \vec{OA}$ et $\vec{MB} = \vec{MO} + \vec{OB}$.
Puisque O est le milieu de $[AB]$, nous avons $\vec{OB} = -\vec{OA}$.
Donc,

$$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MO} + \vec{OA}) \cdot (\vec{MO} - \vec{OA})$$ $$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \vec{MO}^2 - \vec{OA}^2$$

La distance $OA$ est la moitié de $AB$. Puisque $AB = 9$, $OA = \frac{9}{2}$.

$$OA^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81}{4}$$

Ainsi,

$$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MO^2 - \frac{81}{4}$$

Nous avons l'égalité donnée: $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = x^2 + 3x - 5$.
En substituant l'expression du produit scalaire:

$$MO^2 - \frac{81}{4} = x^2 + 3x - 5$$ $$MO^2 = x^2 + 3x - 5 + \frac{81}{4}$$

Pour additionner les termes constants, nous mettons $-5$ au même dénominateur: $-5 = -\frac{20}{4}$.

$$MO^2 = x^2 + 3x - \frac{20}{4} + \frac{81}{4}$$ $$MO^2 = x^2 + 3x + \frac{61}{4}$$

L'ensemble des points M dépend de la valeur de $x^2 + 3x + \frac{61}{4}$.
Soit $R^2 = x^2 + 3x + \frac{61}{4}$.
Nous devons étudier le signe de cette expression quadratique.
Calculons le discriminant $\Delta_Q$ pour $Q(x) = x^2 + 3x + \frac{61}{4}$:

$$\Delta_Q = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)\left(\frac{61}{4}\right) = 9 - 61 = -52$$

Puisque $\Delta_Q < 0$ et le coefficient de $x^2$ est $a=1$ (positif), l'expression $Q(x) = x^2 + 3x + \frac{61}{4}$ est toujours positive pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Donc, $MO^2 = x^2 + 3x + \frac{61}{4} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Puisque $MO^2$ est toujours positif, nous pouvons définir un rayon $R = \sqrt{x^2 + 3x + \frac{61}{4}}$.
L'équation $MO^2 = R^2$ signifie que la distance $MO$ est égale à $R$.
L'ensemble des points M qui sont à une distance constante $R$ d'un point fixe O est un cercle de centre O et de rayon $R$.
O est le milieu du segment $[AB]$.

L'ensemble des points M est un cercle de centre O (milieu de $[AB]$) et de rayon $R = \sqrt{x^2 + 3x + \frac{61}{4}}$.

Réponses finales:

1/ Le signe de $P(x) = x^2 + 3x - 4$ est:

• $P(x) > 0$ pour $x \in \boxed{]-\infty, -4[ \cup ]1, +\infty[}$
• $P(x) < 0$ pour $x \in \boxed{]-4, 1[}$
• $P(x) = 0$ pour $x \in \boxed{\{-4, 1\}}$

2/ L'ensemble des points M est un cercle de centre O (milieu de $[AB]$) et de rayon $R = \sqrt{x^2 + 3x + \frac{61}{4}}$.