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Step 1: Coordonnées des navires dans le repère (Oxy) avec Ox vers l'Est, Oy vers le Nord (unités en km).

Pour A : 5 km à l'Est de O.

$A(5, 0)$

Pour B : 8 km N 30° E de O.

Composante Est : $8 \sin 30^\circ$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$8 \times \frac{1}{2} = 4$

Composante Nord : $8 \cos 30^\circ$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

$B(4, 4\sqrt{3})$

Pour C : 6 km S 20° E de O.

Composante Est : $6 \sin 20^\circ$

Composante Sud : $6 \cos 20^\circ$

$C(6 \sin 20^\circ, -6 \cos 20^\circ)$

Valeurs approchées : $\sin 20^\circ \approx 0.3420$, $\cos 20^\circ \approx 0.9397$

$6 \sin 20^\circ \approx 2.052$

$6 \cos 20^\circ \approx 5.638$

$C \approx (2.052, -5.638)$

Step 2: Distance AB (en km).

Formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Substitutions :

$x_B - x_A = 4 - 5 = -1$

$y_B - y_A = 4\sqrt{3} - 0 = 4\sqrt{3}$

$AB = \sqrt{(-1)^2 + (4\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{1 + 16 \times 3}$

$= \sqrt{1 + 48}$

$= \sqrt{49}$

$= 7$

AB = 7 km

7

Step 3: Distance AC (en km).

Formule : $AC = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2}$

Substitutions approchées :

$x_A - x_C = 5 - 2.052 = 2.948$

$y_A - y_C = 0 - (-5.638) = 5.638$

$AC = \sqrt{2.948^2 + 5.638^2}$

$2.948^2 = 8.691$

$5.638^2 = 31.787$

$8.691 + 31.787 = 40.478$

$\sqrt{40.478} \approx 6.36 \approx 6.4$ (à 0,1 km près)

AC = 6.4 km

6.4

Step 4: Distance BC (en km).

Formule : $BC = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2}$

Substitutions approchées :

$x_B - x_C = 4 - 2.052 = 1.948$

$y_B - y_C = 4\sqrt{3} - (-5.638) \approx 6.928 + 5.638 = 12.566$

$BC = \sqrt{1.948^2 + 12.566^2}$

$1.948^2 \approx 3.795$

$12.566^2 \approx 157.914$

$3.795 + 157.914 = 161.709$

$\sqrt{161.709} \approx 12.71 \approx 12.7$ (à 0,1 km près)

BC = 12.7 km

12.7