Corrigé et créer l'image

Puisque $\Delta = -9 = (3i)^2$, les racines carrées de $\Delta$ sont $3i$ et $-3i$.
Les solutions sont données par la formule $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Les solutions de l'équation sont $\boxed{z_1 = 3+i \text{ et } z_2 = 3-2i}$.

1. b. Déterminer les nombres complexes $z$ et $z'$ tels que :

Multiplions l'équation (1) par 2 :

Les nombres complexes sont $\boxed{z = 4 - \frac{13}{3}i \text{ et } z' = 2 - \frac{11}{3}i}$.

2. Dans tout ce qui suit, on note par A, B, C et D les points d'affixes respectives $a = 3+i$, $b = 3-2i$, $c = 6-2i$ et $d = 6+i$.

2. a. Placer dans $\mathcal{P}$ les quatre points A, B, C et D.
Les coordonnées des points sont :

• A : $(3, 1)$
• B : $(3, -2)$
• C : $(6, -2)$
• D : $(6, 1)$

2. b. Démontrer que le triangle (BAD) est isocèle et rectangle en A, et le triangle (BCD) est isocèle et rectangle en C.

Affixes : $a = 3+i$, $b = 3-2i$, $d = 6+i$.

Puisque $AB = AD = 3$, le triangle BAD est isocèle en A.
Vérifions le théorème de Pythagore : $AB^2 + AD^2 = 3^2 + 3^2 = 9+9 = 18$.
Et $BD^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
Puisque $AB^2 + AD^2 = BD^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BAD est rectangle en A.

Affixes : $b = 3-2i$, $c = 6-2i$, $d = 6+i$.

Puisque $CB = CD = 3$, le triangle BCD est isocèle en C.
Vérifions le théorème de Pythagore : $CB^2 + CD^2 = 3^2 + 3^2 = 9+9 = 18$.
Et $BD^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
Puisque $CB^2 + CD^2 = BD^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en C.

2. c. En déduire que les quatre points A, B, C et D se trouvent sur un même cercle ($\Gamma$) dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon. Tracer ($\Gamma$) sur la figure précédente.

Les triangles BAD et BCD sont rectangles respectivement en A et C, et ils partagent la même hypoténuse BD.
Cela signifie que les points A et C se trouvent sur le cercle dont BD est un diamètre. Par conséquent, les quatre points A, B, C et D sont cocycliques (appartiennent au même cercle $\Gamma$).

Le centre $\Omega$ du cercle $\Gamma$ est le milieu du diamètre BD.
L'affixe de $\Omega$ est $\omega = \frac{b+d}{2}$.

Le centre du cercle est $\boxed{\Omega\left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}\right)}$.

Le rayon $R$ du cercle $\Gamma$ est la moitié de la longueur du diamètre BD.

Le rayon du cercle est $\boxed{R = \frac{3\sqrt{2}}{2}}$.

3. Soit S la similitude plane directe de centre A et qui transforme B en C.

3. a. Préciser les éléments caractéristiques de S.

Une similitude plane directe de centre A a pour écriture complexe $z' - a = k(z - a)$, où $k$ est le rapport complexe.
Puisque S transforme B en C, on a $c - a = k(b - a)$.
On peut donc trouver $k$ :

Pour simplifier $k$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $i$ :

Le rapport de la similitude est $|k|$ :

L'angle de la similitude est $\arg(k)$ :

Les éléments caractéristiques de la similitude S sont :

• Centre : $\boxed{A(3+i)}$
• Rapport : $\boxed{\sqrt{2}}$
• Angle : $\boxed{\frac{\pi}{4}}$

3. b. Construire sur la figure précédente le transformé de ABCD par S.

Soit $A'B'C'D'$ le transformé de ABCD par S.

• Le centre de la similitude est A, donc $S(A) = A$. Ainsi, $A' = A$.
• Par définition, $S(B) = C$. Ainsi, $B' = C$.
• Pour $C'$, on utilise $c' - a = k(c - a)$ :

• Pour $D'$, on utilise $d' - a = k(d - a)$ :

Les points transformés sont :

• $A' = A : (3, 1)$
• $B' = C : (6, -2)$
• $C' : (9, 1)$
• $D' : (6, 4)$

Description de la figure (image) :

Pour créer l'image, vous devez dessiner un plan complexe (un repère cartésien avec l'axe des abscisses pour la partie réelle et l'axe des ordonnées pour la partie imaginaire).

1. Points A, B, C, D :

   • Placez le point A aux coordonnées $(3, 1)$.
   • Placez le point B aux coordonnées $(3, -2)$.
   • Placez le point C aux coordonnées $(6, -2)$.
   • Placez le point D aux coordonnées $(6, 1)$.
   • Reliez ces points pour former le quadrilatère ABCD. Vous remarquerez que ABCD est un carré avec des côtés parallèles aux axes, de longueur 3.

2. Triangles BAD et BCD :

   • Le triangle BAD a pour sommets A, B, D. Il est rectangle en A.
   • Le triangle BCD a pour sommets B, C, D. Il est rectangle en C.

3. Cercle ($\Gamma$) :

   • Le centre du cercle est $\Omega\left(\frac{9}{2}, -\frac{1}{2}\right)$, c'est-à-dire $(4,5, -0,5)$.
   • Le rayon est $R = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2,12$.
   • Tracez le cercle passant par les quatre points A, B, C, D. Ce cercle a pour diamètre le segment BD.

4. Points transformés A', B', C', D' :

   • Placez le point $A'$ aux coordonnées $(3, 1)$ (il coïncide avec A).
   • Placez le point $B'$ aux coordonnées $(6, -2)$ (il coïncide avec C).
   • Placez le point $C'$ aux coordonnées $(9, 1)$.
   • Placez le point $D'$ aux coordonnées $(6, 4)$.
   • Reliez ces points pour former le quadrilatère $A'B'C'D'$. Vous remarquerez que $A'B'C'D'$ est également un carré, mais il est tourné de $\frac{\pi}{4}$ (45 degrés) par rapport à ABCD et ses côtés sont de longueur $3\sqrt{2}$.