Définition du coefficient binomial.

Le coefficient binomial $C_k^n$ (souvent noté $\binom{n}{k}$) est défini par la formule:

$$C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Le côté gauche de l'égalité est $C_{p-1}^n + C_p^n$. En utilisant la définition:

$$C_{p-1}^n + C_p^n = \frac{n!}{(p-1)!(n-(p-1))!} + \frac{n!}{p!(n-p)!}$$ $$= \frac{n!}{(p-1)!(n-p+1)!} + \frac{n!}{p!(n-p)!}$$

Pour additionner ces fractions, nous devons trouver un dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun est $p!(n-p+1)!$.
Nous savons que $p! = p \times (p-1)!$ et $(n-p+1)! = (n-p+1) \times (n-p)!$.
Multiplions le premier terme par $\frac{p}{p}$ et le second terme par $\frac{n-p+1}{n-p+1}$:

$$= \frac{n! \times p}{(p-1)!(n-p+1)! \times p} + \frac{n! \times (n-p+1)}{p!(n-p)! \times (n-p+1)}$$ $$= \frac{n!p}{p!(n-p+1)!} + \frac{n!(n-p+1)}{p!(n-p+1)!}$$

Maintenant que les dénominateurs sont les mêmes, nous pouvons additionner les numérateurs:

$$= \frac{n!p + n!(n-p+1)}{p!(n-p+1)!}$$

Factorisons $n!$ du numérateur:

$$= \frac{n!(p + n-p+1)}{p!(n-p+1)!}$$

Simplifions l'expression entre parenthèses dans le numérateur:

$$= \frac{n!(n+1)}{p!(n-p+1)!}$$

Nous savons que $n!(n+1) = (n+1)!$:

$$= \frac{(n+1)!}{p!(n-p+1)!}$$

L'expression obtenue correspond à la définition du coefficient binomial $C_p^{n+1}$:

$$C_p^{n+1} = \frac{(n+1)!}{p!((n+1)-p)!} = \frac{(n+1)!}{p!(n-p+1)!}$$

Ainsi, nous avons montré que:

$$C_{p-1}^n + C_p^n = C_p^{n+1}$$

L'égalité est démontrée.