Pour démontrer l'égalité $C_{p-1}^n + C_p^n = C_p^{n+1}$, nous allons utiliser la définition du coefficient binomial. Step 1: Définition du coefficient binomial. Le coefficient binomial $C_k^n$ (souvent noté $\binom{n}{k}$) est défini par la formule: $$ C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ Step 2: Exprimer le côté gauche de l'égalité. Le côté gauche de l'égalité est $C_{p-1}^n + C_p^n$. En utilisant la définition: $$ C_{p-1}^n + C_p^n = \frac{n!}{(p-1)!(n-(p-1))!} + \frac{n!}{p!(n-p)!} $$ $$ = \frac{n!}{(p-1)!(n-p+1)!} + \frac{n!}{p!(n-p)!} $$ Step 3: Mettre les termes sur un dénominateur commun. Pour additionner ces fractions, nous devons trouver un dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun est $p!(n-p+1)!$. Nous savons que $p! = p \times (p-1)!$ et $(n-p+1)! = (n-p+1) \times (n-p)!$. Multiplions le premier terme par $\frac{p}{p}$ et le second terme par $\frac{n-p+1}{n-p+1}$: $$ = \frac{n! \times p}{(p-1)!(n-p+1)! \times p} + \frac{n! \times (n-p+1)}{p!(n-p)! \times (n-p+1)} $$ $$ = \frac{n!p}{p!(n-p+1)!} + \frac{n!(n-p+1)}{p!(n-p+1)!} $$ Step 4: Combiner les termes et simplifier. Maintenant que les dénominateurs sont les mêmes, nous pouvons additionner les numérateurs: $$ = \frac{n!p + n!(n-p+1)}{p!(n-p+1)!} $$ Factorisons $n!$ du numérateur: $$ = \frac{n!(p + n-p+1)}{p!(n-p+1)!} $$ Simplifions l'expression entre parenthèses dans le numérateur: $$ = \frac{n!(n+1)}{p!(n-p+1)!} $$ Nous savons que $n!(n+1) = (n+1)!$: $$ = \frac{(n+1)!}{p!(n-p+1)!} $$ Step 5: Reconnaître le côté droit de l'égalité. L'expression obtenue correspond à la définition du coefficient binomial $C_p^{n+1}$: $$ C_p^{n+1} = \frac{(n+1)!}{p!((n+1)-p)!} = \frac{(n+1)!}{p!(n-p+1)!} $$ Ainsi, nous avons montré que: $$ C_{p-1}^n + C_p^n = C_p^{n+1} $$ L'égalité est démontrée.