This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Pour démontrer l'égalité C_p-1^n + C_p^n = C_p^n+1, nous allons utiliser la définition du coefficient binomial. Step 1: Définition du coefficient binomial. Le coefficient binomial C_k^n (souvent noté nk) est défini par la formule: C_k^n = (n!)/(k!(n-k)!) Step 2: Exprimer le côté gauche de l'égalité. Le côté gauche de l'égalité est C_p-1^n + C_p^n. En utilisant la définition: C_p-1^n + C_p^n = (n!)/((p-1)!(n-(p-1))!) + (n!)/(p!(n-p)!) = (n!)/((p-1)!(n-p+1)!) + (n!)/(p!(n-p)!) Step 3: Mettre les termes sur un dénominateur commun. Pour additionner ces fractions, nous devons trouver un dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun est p!(n-p+1)!. Nous savons que p! = p × (p-1)! et (n-p+1)! = (n-p+1) × (n-p)!. Multiplions le premier terme par (p)/(p) et le second terme par (n-p+1)/(n-p+1): = (n! × p)/((p-1)!(n-p+1)! × p) + (n! × (n-p+1))/(p!(n-p)! × (n-p+1)) = (n!p)/(p!(n-p+1)!) + (n!(n-p+1))/(p!(n-p+1)!) Step 4: Combiner les termes et simplifier. Maintenant que les dénominateurs sont les mêmes, nous pouvons additionner les numérateurs: = (n!p + n!(n-p+1))/(p!(n-p+1)!) Factorisons n! du numérateur: = (n!(p + n-p+1))/(p!(n-p+1)!) Simplifions l'expression entre parenthèses dans le numérateur: = (n!(n+1))/(p!(n-p+1)!) Nous savons que n!(n+1) = (n+1)!: = ((n+1)!)/(p!(n-p+1)!) Step 5: Reconnaître le côté droit de l'égalité. L'expression obtenue correspond à la définition du coefficient binomial C_p^n+1: C_p^n+1 = ((n+1)!)/(p!((n+1)-p)!) = ((n+1)!)/(p!(n-p+1)!) Ainsi, nous avons montré que: C_p-1^n + C_p^n = C_p^n+1 L'égalité est démontrée.