Ecrire les propositions suivantes à l'aide des quantificateurs : P₁ : "Quel que soit m un entier relatif, il existe au moins un entier naturel n tel que: m + n ≤ 12". P₁:"Il existe un réel M tel que pour tout xde R ona :x ≤ M."

تمرين 1:

1. كتابة العبارات التالية باستخدام المحددات (Quantifiers):

• P₁: "مهما كان $m$ عددًا صحيحًا نسبيًا، يوجد على الأقل عدد طبيعي $n$ بحيث يكون $m + n \leq 12$."

  • $\boxed{P_1: (\forall m \in \mathbb{Z}), (\exists n \in \mathbb{N}) : m + n \leq 12}$

• P₂: "يوجد عدد حقيقي $M$ بحيث لكل $x$ من $\mathbb{R}$ لدينا $x \leq M$."

  • $\boxed{P_2: (\exists M \in \mathbb{R}), (\forall x \in \mathbb{R}) : x \leq M}$

2. إعطاء نفي العبارات التالية:

• Q₁: "$(\exists x \in \mathbb{R}): 3x^2 - 7x = 4 \Rightarrow x = 3$"

  • نفي العبارة $(\exists x \in \mathbb{R})$ هو $(\forall x \in \mathbb{R})$.
  • نفي العبارة الشرطية $(A \Rightarrow B)$ هو $(A \land \neg B)$.
  • هنا $A$ هي $3x^2 - 7x = 4$ و $B$ هي $x = 3$.
  • إذن، نفي $Q_1$ هو:
  • $\boxed{\neg Q_1: (\forall x \in \mathbb{R}) : (3x^2 - 7x = 4 \land x \neq 3)}$

• Q₂: "$(\forall x \in \mathbb{R}): -1 \leq \sin(x) \leq 1$"

  • نفي العبارة $(\forall x \in \mathbb{R})$ هو $(\exists x \in \mathbb{R})$.
  • نفي العبارة $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ (والتي تعني $-1 \leq \sin(x) \land \sin(x) \leq 1$) هو $\neg(-1 \leq \sin(x)) \lor \neg(\sin(x) \leq 1)$.
  • وهذا يعني $\sin(x) < -1 \lor \sin(x) > 1$.
  • إذن، نفي $Q_2$ هو:
  • $\boxed{\neg Q_2: (\exists x \in \mathbb{R}) : (\sin(x) < -1 \lor \sin(x) > 1)}$

3. تحديد صحة العبارات التالية:

• R₁: "$(\exists p \in \mathbb{Z}): \frac{8}{p+4} \in \mathbb{N}$"

  • هذه العبارة صحيحة إذا وجد عدد صحيح $p$ يجعل $\frac{8}{p+4}$ عددًا طبيعيًا (أي عددًا صحيحًا غير سالب).
  • لنفترض أن $p+4$ هو أحد قواسم 8 التي تجعل الكسر موجبًا.
  • إذا كان $p+4 = 1$, فإن $p = -3$. عندئذٍ $\frac{8}{1} = 8 \in \mathbb{N}$.
  • بما أننا وجدنا قيمة لـ $p$ تحقق الشرط ($p=-3$ هو عدد صحيح)، فإن العبارة صحيحة.
  • الحقيقة: صحيحة (Vraie)

• R₂: "$(\forall x \in \mathbb{R}): 3x^2 - 7x + 4 \leq 0$"

  • هذه العبارة تقول إن الدالة التربيعية $f(x) = 3x^2 - 7x + 4$ تكون دائمًا أقل من أو تساوي الصفر لكل الأعداد الحقيقية $x$.
  • معامل $x^2$ هو 3 وهو موجب، مما يعني أن القطع المكافئ يفتح للأعلى.
  • إذا كان القطع المكافئ يفتح للأعلى، فإنه لا يمكن أن يكون دائمًا أقل من أو يساوي الصفر، لأنه سيتجه نحو اللانهاية الموجبة.
  • يمكننا إيجاد جذور المعادلة $3x^2 - 7x + 4 = 0$ باستخدام المميز $\Delta = b^2 - 4ac$.
  • $\Delta = (-7)^2 - 4(3)(4) = 49 - 48 = 1$.
  • الجذور هي $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2(3)} = \frac{7 \pm 1}{6}$.
  • $x_1 = \frac{7-1}{6} = 1$ و $x_2 = \frac{7+1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
  • بما أن القطع المكافئ يفتح للأعلى، فإن $3x^2 - 7x + 4 > 0$ عندما $x < 1$ أو $x > \frac{4}{3}$.
  • على سبيل المثال، إذا اخترنا $x=0$, فإن $3(0)^2 - 7(0) + 4 = 4$, وهو ليس $\leq 0$.
  • لذلك، العبارة خاطئة.
  • الحقيقة: خاطئة (Fausse)

أنجزت 2. تبقّى 3 اليوم — أرسل التالي.