Exercice 1. 2. a) Calculer les limites de f aux bornes de Df. f(x) = 2 + (-2x)/(x2 - 1). Df = ]-inf, -1[ U ]-1, 1[ U ]1, +inf[.

Exercice 1: 2. a) Calculer les limites de f aux bornes de D_f. La fonction est f(x) = 2 + (-2x)/(x^2 - 1). L'ensemble de définition est D_f = ]-, -1[ ]-1, 1[ ]1, +[. Calcul des limites à l'infini: _x - f(x) = _x - (2 + (-2x)/(x^2 - 1)) Pour la fraction, on considère les termes de plus haut degré: _x - (-2x)/(x^2 - 1) = _x - (-2x)/(x^2) = _x - (-2)/(x) = 0 Donc, _x - f(x) = 2 + 0 = 2 De même, _x + f(x) = _x + (2 + (-2x)/(x^2 - 1)) _x + (-2x)/(x^2 - 1) = _x + (-2)/(x) = 0 Donc, _x + f(x) = 2 + 0 = 2 Calcul des limites aux bornes finies: Le dénominateur x^2 - 1 = (x-1)(x+1) s'annule en x=-1 et x=1. Le signe de x^2 - 1 est positif pour x ]-, -1[ ]1, +[ et négatif pour x ]-1, 1[. Pour x -1: Le numérateur -2x -2(-1) = 2. _x -1^- f(x) = _x -1^- (2 + (-2x)/(x^2 - 1)) = 2 + (2)/(0^+) = 2 + (+) = + _x -1^+ f(x) = _x -1^+ (2 + (-2x)/(x^2 - 1)) = 2 + (2)/(0^-) = 2 + (-) = - Pour x 1: Le numérateur -2x -2(1) = -2. _x 1^- f(x) = _x 1^- (2 + (-2x)/(x^2 - 1)) = 2 + (-2)/(0^-) = 2 + (+) = + _x 1^+ f(x) = _x 1^+ (2 + (-2x)/(x^2 - 1)) = 2 + (-2)/(0^+) = 2 + (-) = - Les limites sont: _x - f(x) = 2 _x + f(x) = 2 _x -1^- f(x) = + _x -1^+ f(x) = - _x 1^- f(x) = + _x 1^+ f(x) = - 2. b) Déduire les asymptotes de la courbe représentative de f. • Puisque _x - f(x) = 2 et _x + f(x) = 2, la droite d'équation y=2 est une asymptote horizontale à la courbe de f en - et en +. • Puisque _x -1^- f(x) = + et _x -1^+ f(x) = -, la droite d'équation x=-1 est une asymptote verticale à la courbe de f. • Puisque _x 1^- f(x) = + et _x 1^+ f(x) = -, la droite d'équation x=1 est une asymptote verticale à la courbe de f. 3 done, 2 left today. You're making progress.