Exercice 1. 2. a) Calculer les limites de f aux bornes de Df. f(x) = 2 + (-2x)/(x2 - 1). Df = ]-inf, -1[ U ]-1, 1[ U ]1, +inf[.

Exercice 1:

2. a) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.

   La fonction est $f(x) = 2 + \frac{-2x}{x^2 - 1}$. L'ensemble de définition est $D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]-1, 1[ \cup ]1, +\infty[$.

   Calcul des limites à l'infini:

   $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(2 + \frac{-2x}{x^2 - 1}\right)$$

   Pour la fraction, on considère les termes de plus haut degré:

   $$\lim_{x \to -\infty} \frac{-2x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{x} = 0$$

   Donc,

   $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2 + 0 = 2$$

   De même,

   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{-2x}{x^2 - 1}\right)$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2}{x} = 0$$

   Donc,

   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 + 0 = 2$$

   Calcul des limites aux bornes finies:
   Le dénominateur $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ s'annule en $x=-1$ et $x=1$.
   Le signe de $x^2 - 1$ est positif pour $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ et négatif pour $x \in ]-1, 1[$.

   Pour $x \to -1$:
   Le numérateur $-2x \to -2(-1) = 2$.

   $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \left(2 + \frac{-2x}{x^2 - 1}\right) = 2 + \frac{2}{0^+} = 2 + (+\infty) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \left(2 + \frac{-2x}{x^2 - 1}\right) = 2 + \frac{2}{0^-} = 2 + (-\infty) = -\infty$$

   Pour $x \to 1$:
   Le numérateur $-2x \to -2(1) = -2$.

   $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left(2 + \frac{-2x}{x^2 - 1}\right) = 2 + \frac{-2}{0^-} = 2 + (+\infty) = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left(2 + \frac{-2x}{x^2 - 1}\right) = 2 + \frac{-2}{0^+} = 2 + (-\infty) = -\infty$$

   Les limites sont:
   $\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2}$
   $\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2}$
   $\boxed{\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty}$
   $\boxed{\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty}$
   $\boxed{\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty}$
   $\boxed{\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty}$

3. b) Déduire les asymptotes de la courbe représentative de $f$.

   • Puisque $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$, la droite d'équation $\boxed{y=2}$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   • Puisque $\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$, la droite d'équation $\boxed{x=-1}$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.
   • Puisque $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$, la droite d'équation $\boxed{x=1}$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$.