Express 9q2 + 12q + 4 in the form 3p+1 where p = 3q2 + 4q + 1.

जब $a = 3q$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

$$a^2 = (3q)^2$$ $$a^2 = 9q^2$$

हम इसे 3 के गुणज के रूप में लिख सकते हैं:

$$a^2 = 3(3q^2)$$

माना $p = 3q^2$ है।
तो, $a^2 = 3p$

जब $a = 3q+1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

$$a^2 = (3q+1)^2$$

सर्वसमिका $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ का उपयोग करने पर:

$$a^2 = (3q)^2 + 2(3q)(1) + (1)^2$$ $$a^2 = 9q^2 + 6q + 1$$

हम इसे $3p+1$ के रूप में लिख सकते हैं:

$$a^2 = 3(3q^2 + 2q) + 1$$

माना $p = 3q^2 + 2q$ है।
तो, $a^2 = 3p+1$

जब $a = 3q+2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

$$a^2 = (3q+2)^2$$

सर्वसमिका $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ का उपयोग करने पर:

$$a^2 = (3q)^2 + 2(3q)(2) + (2)^2$$ $$a^2 = 9q^2 + 12q + 4$$

हम 4 को $3+1$ के रूप में लिख सकते हैं:

$$a^2 = 9q^2 + 12q + 3 + 1$$

हम 3 को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:

$$a^2 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1$$

माना $p = 3q^2 + 4q + 1$ है।
तो, $a^2 = 3p+1$

सभी स्थितियों में, हमने देखा कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो $3p$ या $3p+1$ के रूप में होता है।

$\boxed{\text{किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग } 3p \text{ या } 3p+1 \text{ के रूप में होता है।}}$