, Find all the values of theta ,0 theta 2pi for which 2theta = theta . (ii) Show that the matrix M is invertible, where M= 3 & -2 & 5 7 & 4 & -8 5 & -3 & -4 . Hence, find M⁻¹, the inverse of M.

L'équation à résoudre est $\sin 2\theta = \sec \theta$ pour $0 \le \theta \le 2\pi$.

Nous savons que $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ et $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$.
En substituant ces identités dans l'équation, nous obtenons :

Pour que $\sec \theta$ soit définie, $\cos \theta$ ne doit pas être nul.
Si $\cos \theta \neq 0$, nous pouvons multiplier les deux côtés de l'équation par $\cos \theta$:

La fonction $\sin x$ a une plage de valeurs de $[-1, 1]$. Par conséquent, $\sin 2\theta \in [-1, 1]$.
La fonction $\sec x$ a une plage de valeurs de $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Pour que l'équation $\sin 2\theta = \sec \theta$ ait une solution, la valeur commune doit appartenir à l'intersection de ces deux plages. L'intersection est $\{-1, 1\}$.
Ainsi, l'équation n'a de solutions que si $\sin 2\theta = \sec \theta = 1$ ou $\sin 2\theta = \sec \theta = -1$.

$\sin 2\theta = 1$ et $\sec \theta = 1$.
Si $\sec \theta = 1$, alors $\cos \theta = 1$.
Dans l'intervalle $0 \le \theta \le 2\pi$, cela implique $\theta = 0$ ou $\theta = 2\pi$.
Vérifions ces valeurs dans l'équation $\sin 2\theta = 1$:

• Pour $\theta = 0$, $\sin(2 \cdot 0) = \sin 0 = 0$. Ceci n'est pas égal à 1.
• Pour $\theta = 2\pi$, $\sin(2 \cdot 2\pi) = \sin(4\pi) = 0$. Ceci n'est pas égal à 1. Ce cas ne produit donc aucune solution.

$\sin 2\theta = -1$ et $\sec \theta = -1$.
Si $\sec \theta = -1$, alors $\cos \theta = -1$.
Dans l'intervalle $0 \le \theta \le 2\pi$, cela implique $\theta = \pi$.
Vérifions cette valeur dans l'équation $\sin 2\theta = -1$:

• Pour $\theta = \pi$, $\sin(2\pi) = 0$. Ceci n'est pas égal à $-1$. Ce cas ne produit donc aucune solution.

Puisqu'aucun des cas possibles n'a donné de solution, il n'y a pas de valeurs de $\theta$ dans l'intervalle $0 \le \theta \le 2\pi$ qui satisfont l'équation donnée.

La réponse finale est $\text{Aucune valeur de } \theta$.