Solve the following integrals: 43. ∫ e^(√x) dx 44. ∫ cos(ln x) dx
|Mathematics
Solve the following integrals: 43. ∫ e^(√x) dx 44. ∫ cos(ln x) dx
ScanSolve AI Answer
Answer
2ex(x−1)+C
بالتأكيد، سأقوم بحل الأسئلة من 43 إلى 48 خطوة بخطوة.
43. ∫exdx
Step 1: استخدم التعويض.
افرض u=x.
إذن u2=x.
اشتق الطرفين بالنسبة لـ u: 2udu=dx.
الآن، استبدل في التكامل:
∫eu(2udu)=2∫ueudu
Step 2: استخدم التكامل بالتجزئة.
صيغة التكامل بالتجزئة هي ∫vdw=vw−∫wdv.
اختر v=u و dw=eudu.
إذن dv=du و w=eu.
2(ueu−∫eudu)
Step 3: أكمل التكامل.
2(ueu−eu)+C=2eu(u−1)+C
Step 4: استبدل u بقيمتها الأصلية x.
2ex(x−1)+C
الجواب النهائي هو:
2ex(x−1)+C
44. ∫cos(lnx)dx
Step 1: استخدم التكامل بالتجزئة.
صيغة التكامل بالتجزئة هي ∫vdw=vw−∫wdv.
اختر v=cos(lnx) و dw=dx.
إذن dv=−sin(lnx)⋅x1dx و w=x.
∫cos(lnx)dx=xcos(lnx)−∫x(−sin(lnx)⋅x1)dx=xcos(lnx)+∫sin(lnx)dx
Step 2: استخدم التكامل بالتجزئة مرة أخرى للتكامل المتبقي.
لـ ∫sin(lnx)dx:
اختر v′=sin(lnx) و dw′=dx.
إذن dv′=cos(lnx)⋅x1dx و w′=x.
∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)−∫x(cos(lnx)⋅x1)dx=xsin(lnx)−∫cos(lnx)dx
Step 3: عوض بالنتيجة في المعادلة الأصلية.
افرض I=∫cos(lnx)dx.
I=xcos(lnx)+xsin(lnx)−I
Step 4: حل لـ I.
2I=xcos(lnx)+xsin(lnx)I=2x(cos(lnx)+sin(lnx))+C
الجواب النهائي هو:
\frac{x{2} (\cos(\ln x) + \sin(\ln x)) + C}
45. ∫π/2πθ3cos(θ2)dθ
Step 1: استخدم التعويض.
افرض u=θ2.
إذن du=2θdθ⟹θdθ=21du.
لاحظ أن θ3=θ2⋅θ=u⋅θ.
حدود التكامل تتغير:
عندما θ=2π، u=(2π)2=4π.
عندما θ=π، u=(π)2=π.
التكامل يصبح:
∫π/4πucos(u)21du=21∫π/4πucos(u)du
Step 2: استخدم التكامل بالتجزئة.
اختر v=u و dw=cos(u)du.
إذن dv=du و w=sin(u).
21[usin(u)−∫sin(u)du]π/4π=21[usin(u)−(−cos(u))]π/4π=21[usin(u)+cos(u)]π/4π
This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
بالتأكيد، سأقوم بحل الأسئلة من 43 إلى 48 خطوة بخطوة. 43. e^sqrt(x) dx Step 1: استخدم التعويض. افرض u = sqrt(x). إذن u^2 = x. اشتق الطرفين بالنسبة لـ u: 2u \, du = dx. الآن، استبدل في التكامل: e^u (2u \, du) = 2 u e^u \, du Step 2: استخدم التكامل بالتجزئة. صيغة التكامل بالتجزئة هي v \, dw = vw - w \, dv. اختر v = u و dw = e^u \, du. إذن dv = du و w = e^u. 2 ( u e^u - e^u \, du ) Step 3: أكمل التكامل. 2 ( u e^u - e^u ) + C = 2e^u(u-1) + C Step 4: استبدل u بقيمتها الأصلية sqrt(x). 2e^sqrt(x)(sqrt(x)-1) + C الجواب النهائي هو: 2e^sqrt(x)(sqrt(x)-1) + C 44. ( x) dx Step 1: استخدم التكامل بالتجزئة. صيغة التكامل بالتجزئة هي v \, dw = vw - w \, dv. اختر v = ( x) و dw = dx. إذن dv = -( x) · (1)/(x) \, dx و w = x. ( x) dx = x ( x) - x (-( x) · (1)/(x)) dx = x ( x) + ( x) dx Step 2: استخدم التكامل بالتجزئة مرة أخرى للتكامل المتبقي. لـ ( x) dx: اختر v' = ( x) و dw' = dx. إذن dv' = ( x) · (1)/(x) \, dx و w' = x. ( x) dx = x ( x) - x (( x) · (1)/(x)) dx = x ( x) - ( x) dx Step 3: عوض بالنتيجة في المعادلة الأصلية. افرض I = ( x) dx. I = x ( x) + x ( x) - I Step 4: حل لـ I. 2I = x ( x) + x ( x) I = (x)/(2) (( x) + ( x)) + C الجواب النهائي هو: (x)/(2) (( x) + ( x)) + C 45. _sqrt()/2^sqrt() ^3 (^2) d Step 1: استخدم التعويض. افرض u = ^2. إذن du = 2 \, d \, d = (1)/(2) du. لاحظ أن ^3 = ^2 · = u · . حدود التكامل تتغير: عندما = sqrt()2، u = (sqrt()2)^2 = ()/(4). عندما = sqrt()، u = (sqrt())^2 = . التكامل يصبح: _/4^ u (u) (1)/(2) du = (1)/(2) _/4^ u (u) du Step 2: استخدم التكامل بالتجزئة. اختر v = u و dw = (u) \, du. إذن dv = du و w = (u). (1)/(2) [ u (u) - (u) du ]_/4^ = (1)/(2) [ u (u) - (-(u)) ]_/4^ = (1)/(2) [ u (u) + (u) ]_/4^ Step 3: عوض بحدود التكامل. (1)/(2) [ ( () + ()) - (()/(4) (()/(4)) + (()/(4))) ] = (1)/(2) [ ( · 0 + (-1)) - (()/(4) · sqrt(2)2 + sqrt(2)2) ] = (1)/(2) [ -1 - ((2)8 + 4sqrt(2)8) ] = (1)/(2) [ -1 - sqrt(2)(+4)8 ] = -(1)/(2) - sqrt(2)(+4)16 الجواب النهائي هو: -(1)/(2) - sqrt(2)(+4)16 46. _0^ e^ t (2t) dt Step 1: استخدم متطابقة المثلثات. نعلم أن (2t) = 2 t t. إ
