Solve the following integrals: 43. ∫ e^(√x) dx 44. ∫ cos(ln x) dx

افرض $u = \sqrt{x}$.
إذن $u^2 = x$.
اشتق الطرفين بالنسبة لـ $u$: $2u \, du = dx$.
الآن، استبدل في التكامل:

صيغة التكامل بالتجزئة هي $\int v \, dw = vw - \int w \, dv$.
اختر $v = u$ و $dw = e^u \, du$.
إذن $dv = du$ و $w = e^u$.

الجواب النهائي هو:

44. $\int \cos(\ln x) dx$

صيغة التكامل بالتجزئة هي $\int v \, dw = vw - \int w \, dv$.
اختر $v = \cos(\ln x)$ و $dw = dx$.
إذن $dv = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ و $w = x$.

لـ $\int \sin(\ln x) dx$:
اختر $v' = \sin(\ln x)$ و $dw' = dx$.
إذن $dv' = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$ و $w' = x$.

افرض $I = \int \cos(\ln x) dx$.

الجواب النهائي هو:

45. $\int_{\sqrt{\pi}/2}^{\sqrt{\pi}} \theta^3 \cos(\theta^2) d\theta$

افرض $u = \theta^2$.
إذن $du = 2\theta \, d\theta \implies \theta \, d\theta = \frac{1}{2} du$.
لاحظ أن $\theta^3 = \theta^2 \cdot \theta = u \cdot \theta$.
حدود التكامل تتغير:
عندما $\theta = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$، $u = \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$.
عندما $\theta = \sqrt{\pi}$، $u = (\sqrt{\pi})^2 = \pi$.
التكامل يصبح:

اختر $v = u$ و $dw = \cos(u) \, du$.
إذن $dv = du$ و $w = \sin(u)$.

الجواب النهائي هو:

46. $\int_0^{\pi} e^{\cos t} \sin(2t) dt$

نعلم أن $\sin(2t) = 2 \sin t \cos t$.
إ