नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए: (i) 7+10 1 2 +14+..+84 (ii) 34+32+30+...+10 (iii)…

Question

नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए: (i) 7+10 1 2 +14+..+84 (ii) 34+32+30+...+10 (iii) −5+(−8)+(−11)+...+(−230)

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यहाँ दिए गए समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहले पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करेंगे, फिर समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों के योग का सूत्र उपयोग करेंगे।

पदों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है:

a_n = a + (n-1)d

जहाँ $a_n$ अंतिम पद है, $a$ पहला पद है, और $d$ सार्व अंतर है।

योग ज्ञात करने का सूत्र है:

S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)

जहाँ $S_n$ योग है, $n$ पदों की संख्या है, $a$ पहला पद है, और $a_n$ अंतिम पद है।

भाग (i): $7 + 10\frac{1}{2} + 14 + \dots + 84$

पहले पद ( $a$ ), अंतिम पद ( $a_n$ ) और सार्व अंतर ( $d$ ) की पहचान करें।
यहाँ, $a = 7$ , $a_n = 84$ , और $d = 10\frac{1}{2} - 7 = \frac{21}{2} - \frac{14}{2} = \frac{7}{2}$ .
पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करें।
$84 = 7 + (n-1)\frac{7}{2}$ $84 - 7 = (n-1)\frac{7}{2}$ $77 = (n-1)\frac{7}{2}$ $77 \times \frac{2}{7} = n-1$ $11 \times 2 = n-1$ $22 = n-1$ $n = 23$
समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ( $S_n$ ) ज्ञात करें।
$S_{23} = \frac{23}{2}(7 + 84)$ $S_{23} = \frac{23}{2}(91)$ $S_{23} = \frac{2093}{2}$ $S_{23} = 1046.5$
भाग (i) का योग है: $\boxed{\textbf{1046.5}}$

भाग (ii): $34 + 32 + 30 + \dots + 10$
पहले पद ( $a$ ), अंतिम पद ( $a_n$ ) और सार्व अंतर ( $d$ ) की पहचान करें।
यहाँ, $a = 34$ , $a_n = 10$ , और $d = 32 - 34 = -2$ .
पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करें।
$10 = 34 + (n-1)(-2)$ $10 - 34 = -2(n-1)$ $-24 = -2(n-1)$ $\frac{-24}{-2} = n-1$ $12 = n-1$ $n = 13$
समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ( $S_n$ ) ज्ञात करें।
$S_{13} = \frac{13}{2}(34 + 10)$ $S_{13} = \frac{13}{2}(44)$ $S_{13} = 13 \times 22$ $S_{13} = 286$
भाग (ii) का योग है: $\boxed{\textbf{286}}$

भाग (iii): $-5 + (-8) + (-11) + \dots + (-230)$
पहले पद ( $a$ ), अंतिम पद ( $a_n$ ) और सार्व अंतर ( $d$ ) की पहचान करें।
यहाँ, $a = -5$ , $a_n = -230$ , और $d = -8 - (-5) = -8 + 5 = -3$ .
पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करें।
$-230 = -5 + (n-1)(-3)$ $-230 + 5 = -3(n-1)$ $-225 = -3(n-1)$ $\frac{-225}{-3} = n-1$ $75 = n-1$ $n = 76$
समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ( $S_n$ ) ज्ञात करें।
$S_{76} = \frac{76}{2}(-5 + (-230))$ $S_{76} = 38(-5 - 230)$ $S_{76} = 38(-235)$ $S_{76} = -8930$
भाग (iii) का योग है: $\boxed{\textbf{-8930}}$

नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए: (i) 7+10 1 2 +14+..+84 (ii) 34+32+30+...+10 (iii) -5+(-8)+(-11)+...+(-230)

Step-by-step solution

पहले पद ( $a$ ), अंतिम पद ( $a_n$ ) और सार्व अंतर ( $d$ ) की पहचान करें।

पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करें।

समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ( $S_n$ ) ज्ञात करें।

पहले पद ( $a$ ), अंतिम पद ( $a_n$ ) और सार्व अंतर ( $d$ ) की पहचान करें।

पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करें।

समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ( $S_n$ ) ज्ञात करें।

पहले पद ( $a$ ), अंतिम पद ( $a_n$ ) और सार्व अंतर ( $d$ ) की पहचान करें।

पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करें।

समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ( $S_n$ ) ज्ञात करें।

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Step-by-step solution

पहले पद (aaa), अंतिम पद (ana_nan​) और सार्व अंतर (ddd) की पहचान करें।

पदों की संख्या (nnn) ज्ञात करें।

समांतर श्रेढ़ी के nnn पदों का योग (SnS_nSn​) ज्ञात करें।

पहले पद (aaa), अंतिम पद (ana_nan​) और सार्व अंतर (ddd) की पहचान करें।

पदों की संख्या (nnn) ज्ञात करें।

समांतर श्रेढ़ी के nnn पदों का योग (SnS_nSn​) ज्ञात करें।

पहले पद (aaa), अंतिम पद (ana_nan​) और सार्व अंतर (ddd) की पहचान करें।

पदों की संख्या (nnn) ज्ञात करें।

समांतर श्रेढ़ी के nnn पदों का योग (SnS_nSn​) ज्ञात करें।

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पहले पद ( $a$ ), अंतिम पद ( $a_n$ ) और सार्व अंतर ( $d$ ) की पहचान करें।

पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करें।

समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ( $S_n$ ) ज्ञात करें।

पहले पद ( $a$ ), अंतिम पद ( $a_n$ ) और सार्व अंतर ( $d$ ) की पहचान करें।

पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करें।

समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ( $S_n$ ) ज्ञात करें।

पहले पद ( $a$ ), अंतिम पद ( $a_n$ ) और सार्व अंतर ( $d$ ) की पहचान करें।

पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करें।

समांतर श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग ( $S_n$ ) ज्ञात करें।