I3,a),b) azafady tompoko ny valiny

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Voici les solutions pour les questions I_3,a) et I_3,b).

3- On considère le point M d'affixe $z$ , A d'affixe $z_A = -1+2i$ et B d'affixe $z_B = 4-4i$ .

3-a) Interpréter géométriquement $|Z|$ et $\arg(Z)$ .

On a $Z = \frac{z-4+4i}{z+1-2i}$ . En utilisant les affixes des points A et B, on peut réécrire $Z$ comme :

Z = \frac{z-z_B}{z-z_A}

Interprétation de $|Z|$ :
$|Z| = \left|\frac{z-z_B}{z-z_A}\right| = \frac{|z-z_B|}{|z-z_A|}$
$|z-z_B|$ représente la distance entre le point M (d'affixe $z$ ) et le point B (d'affixe $z_B$ ), c'est-à-dire la longueur $MB$ . $|z-z_A|$ représente la distance entre le point M (d'affixe $z$ ) et le point A (d'affixe $z_A$ ), c'est-à-dire la longueur $MA$ . Donc, $|Z|$ est le rapport des distances $MB$ et $MA$ : $\boxed{|Z| = \frac{MB}{MA}}$ .
Interprétation de $\arg(Z)$ :
$\arg(Z) = \arg\left(\frac{z-z_B}{z-z_A}\right) \pmod{2\pi}$
Cette expression représente l'angle orienté formé par les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{BM}$ . Donc, $\arg(Z)$ est une mesure de l'angle orienté $(\vec{AM}, \vec{BM})$ : $\boxed{\arg(Z) = (\vec{AM}, \vec{BM}) \pmod{2\pi}}$ .

3-b) Déterminer et construire l'ensemble des points M tels que $Z$ soit un nombre réel.

Condition pour que $Z$ soit un nombre réel.
Pour que $Z$ soit un nombre réel, son argument doit être un multiple entier de $\pi$ .
$\arg(Z) = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
En utilisant l'interprétation géométrique de $\arg(Z)$ :
$(\vec{AM}, \vec{BM}) = k\pi \pmod{2\pi}$
Cela signifie que les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{BM}$ sont colinéaires.
Déduire l'ensemble des points M.
Si les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{BM}$ sont colinéaires, alors les points A, B et M sont alignés.
L'ensemble des points M est donc la droite passant par A et B, c'est-à-dire la droite $(AB)$ .
Cependant, il y a une condition initiale : $z \neq -1+2i$ , ce qui signifie que M ne peut pas être le point A.
Si M est le point B, alors $z=z_B$ , et $Z = \frac{z_B-z_B}{z_B-z_A} = \frac{0}{z_B-z_A} = 0$ , qui est un nombre réel. Donc le point B est inclus dans l'ensemble.
L'ensemble des points M est la droite $(AB)$ privée du point A.
Construction de l'ensemble des points M.
1. Placez le point A d'affixe $z_A = -1+2i$ , donc de coordonnées $A(-1, 2)$ .
2. Placez le point B d'affixe $z_B = 4-4i$ , donc de coordonnées $B(4, -4)$ .
3. Tracez la droite passant par les points A et B.
4. Indiquez que le point A est exclu de cette droite (par exemple, par un cercle vide autour de A).

Answer