In how many ways can the number 12 be expressed as a sum of two prime numbers?

हमें व्यंजक $x^2 - qx - p^2 + 5pq - 6q^2$ को गुणनखंडित करना है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

अब, $p^2 - 5pq + 6q^2$ को गुणनखंडित करें। हम दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $6q^2$ हो और योग $-5q$ हो। ये संख्याएँ $-2q$ और $-3q$ हैं।
\begin{align*} p^2 - 5pq + 6q^2 &= p^2 - 2pq - 3pq + 6q^2 \ &= p(p - 2q) - 3q(p - 2q) \ &= (p - 2q)(p - 3q) \end{align*}

अब, इसे मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें:

हमें दो पद ढूँढने हैं जिनका गुणनफल $-(p - 2q)(p - 3q)$ हो और जिनका योग $-q$ हो।
ये पद $-(p - 2q)$ और $(p - 3q)$ हैं।
इनका योग है: $-(p - 2q) + (p - 3q) = -p + 2q + p - 3q = -q$
इनका गुणनफल है: $-(p - 2q)(p - 3q)$
तो, हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:

यह $(x+A)(x+B)$ के रूप में है जहाँ $A = -(p - 2q)$ और $B = (p - 3q)$।