J'ai rien compris dans l'exercice 4

Absolument ! Reprenons l'exercice 04 point par point. Il s'agit de compléter des équivalences logiques, c'est-à-dire des affirmations qui sont vraies si et seulement si l'autre affirmation est vraie.

EXERCICE 04

1. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad x \cdot y = 0 \Leftrightarrow (x = 0 \text{ ou } y = 0)$

   • Explication : Le produit de deux nombres réels est nul si et seulement si au moins l'un de ces nombres est nul. C'est une propriété fondamentale des nombres réels.

2. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad x \cdot y \neq 0 \Leftrightarrow (x \neq 0 \text{ et } y \neq 0)$

   • Explication : Le produit de deux nombres réels est non nul si et seulement si les deux nombres sont non nuls. C'est la négation de la première proposition. Si l'un des nombres était nul, le produit serait nul.

3. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad x^2 + y^2 = 0 \Leftrightarrow (x = 0 \text{ et } y = 0)$

   • Explication : Pour des nombres réels, un carré est toujours positif ou nul ($x^2 \ge 0$ et $y^2 \ge 0$). La somme de deux nombres positifs ou nuls ne peut être égale à zéro que si les deux nombres sont eux-mêmes égaux à zéro. Si $x$ ou $y$ était non nul, son carré serait strictement positif, et la somme $x^2 + y^2$ serait strictement positive.

4. $(\forall x \in \mathbb{R}) \quad x^2 \ge r \Leftrightarrow (x \le -\sqrt{r} \text{ ou } x \ge \sqrt{r})$

   • Explication : Cette équivalence est valable lorsque $r$ est un nombre réel positif ($r \ge 0$). Elle signifie que le carré d'un nombre $x$ est supérieur ou égal à $r$ si et seulement si la valeur absolue de $x$ est supérieure ou égale à la racine carrée de $r$, c'est-à-dire $|x| \ge \sqrt{r}$. Cela se traduit par $x$ étant plus petit que $-\sqrt{r}$ ou plus grand que $\sqrt{r}$.
   • Note : Si $r$ était négatif, $x^2 \ge r$ serait toujours vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$ puisque $x^2 \ge 0$.

5. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad (x;y) \neq (0;0) \Leftrightarrow (x \neq 0 \text{ ou } y \neq 0)$

   • Explication : Un point $(x;y)$ dans le plan n'est pas l'origine $(0;0)$ si et seulement si au moins l'une de ses coordonnées ($x$ ou $y$) est différente de zéro. Si les deux coordonnées étaient nulles, le point serait l'origine.

J'espère que ces explications sont plus claires !