La proposition 4 et 5 sont pas clair

Absolument, reprenons les propositions 4 et 5 de l'exercice 04 avec plus de détails.

EXERCICE 04

4. $(\forall x \in \mathbb{R}) \quad x^2 \ge r \Leftrightarrow (x \le -\sqrt{r} \text{ ou } x \ge \sqrt{r})$

   • Explication : Cette équivalence est valide pour $r \ge 0$.
     • Si vous avez une inégalité comme $x^2 \ge 9$, cela signifie que $x$ doit être un nombre dont le carré est au moins 9.
     • Les nombres qui satisfont cette condition sont ceux qui sont plus petits ou égaux à $-3$ (par exemple, $-4$, $(-4)^2 = 16 \ge 9$) ou plus grands ou égaux à $3$ (par exemple, $5$, $5^2 = 25 \ge 9$).
     • En général, $x^2 \ge r$ est équivalent à $|x| \ge \sqrt{r}$. Et l'inégalité $|x| \ge k$ (pour $k \ge 0$) est toujours équivalente à $x \le -k$ ou $x \ge k$. Ici, $k = \sqrt{r}$.
     • Si $r$ était négatif, par exemple $x^2 \ge -5$, alors cette inégalité serait toujours vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$ car un carré est toujours positif ou nul ($x^2 \ge 0$), donc il est forcément plus grand qu'un nombre négatif. Mais la forme avec $\sqrt{r}$ n'aurait pas de sens dans les réels. L'énoncé suppose implicitement $r \ge 0$ pour que $\sqrt{r}$ soit défini.

5. $(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \quad (x;y) \neq (0;0) \Leftrightarrow (x \neq 0 \text{ ou } y \neq 0)$

   • Explication : Cette proposition concerne les coordonnées d'un point dans un plan.
     • Le point $(0;0)$ est l'origine. C'est le seul point où les deux coordonnées sont simultanément nulles.
     • Dire que le point $(x;y)$ n'est pas l'origine $(0;0)$ signifie qu'il n'est pas vrai que $x=0$ et $y=0$.
     • La négation de "($x=0$ et $y=0$)" est "($x \neq 0$ ou $y \neq 0$)".
     • Donc, pour qu'un point ne soit pas l'origine, il suffit qu'au moins une de ses coordonnées soit différente de zéro.
     • Exemples :
       • $(1;0) \neq (0;0)$ car $x=1 \neq 0$.
       • $(0;5) \neq (0;0)$ car $y=5 \neq 0$.
       • $(2;3) \neq (0;0)$ car $x=2 \neq 0$ (et aussi $y=3 \neq 0$).

J'espère que ces explications plus détaillées vous aident à mieux comprendre ces deux points.