lim x--inf sqrt(x2+1)/x

Question

lim x->-inf sqrt(x2+1)/x

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Pour résoudre cette limite, nous allons d'abord identifier la forme indéterminée, puis simplifier l'expression sous la racine carrée.

Évaluer la forme indéterminée.
Lorsque $x \to -\infty$ , le numérateur $\sqrt{x^2+1}$ tend vers $+\infty$ (car $x^2 \to +\infty$ ) et le dénominateur $x$ tend vers $-\infty$ .
Nous avons donc une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{-\infty}$ .
Factoriser le terme de plus haut degré sous la racine carrée.
Pour lever l'indétermination, nous allons factoriser $x^2$ sous la racine carrée :
$\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{x^2 \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}$
Utiliser la propriété de la racine carrée et la définition de la valeur absolue.
On sait que $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ et que $\sqrt{x^2} = |x|$ .
Puisque $x \to -\infty$ , $x$ est négatif. Par conséquent, $|x| = -x$ .
Donc, l'expression devient :
$\sqrt{x^2 \left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = -x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$
Substituer l'expression simplifiée dans la limite.
Maintenant, nous pouvons remplacer $\sqrt{x^2+1}$ par son équivalent dans l'expression de la limite :
$\lim_{x \to -\infty} \frac{-x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x}$
Simplifier l'expression.
Nous pouvons simplifier le $x$ au numérateur et au dénominateur :
$\lim_{x \to -\infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$
Calculer la limite.
Lorsque $x \to -\infty$ , le terme $\frac{1}{x^2}$ tend vers 0.
$\lim_{x \to -\infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = - \sqrt{1 + 0} = - \sqrt{1} = -1$
La limite est donc :
$-1$

lim x->-inf sqrt(x2+1)/x