Math solve 25-26

यहाँ आपके प्रश्नों के हल दिए गए हैं:

प्रश्न 25: यदि $x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ और $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$, तो $x^2 + y^2$ का मान है:

Step 1: $x$ और $y$ को हर का परिमेयकरण करके सरल करें। $x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$ $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

Step 2: $x^2$ और $y^2$ की गणना करें। $x^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4+3+4\sqrt{3} = 7+4\sqrt{3}$ $y^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4+3-4\sqrt{3} = 7-4\sqrt{3}$

Step 3: $x^2 + y^2$ का मान ज्ञात करें। $x^2 + y^2 = (7+4\sqrt{3}) + (7-4\sqrt{3}) = 7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3} = 14$ सही विकल्प (A) है। $\boxed{14}$

प्रश्न 26: यदि $x = \frac{1}{2-\sqrt{3}}$, तो $x^3 - 2x^2 - 7x + 5$ का मान है:

Step 1: $x$ को सरल करें। $x = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

Step 2: $x$ के लिए एक द्विघात संबंध ज्ञात करें। $x = 2+\sqrt{3}$ $x-2 = \sqrt{3}$ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-2)^2 = (\sqrt{3})^2$ $x^2 - 4x + 4 = 3$ $x^2 - 4x + 1 = 0$

Step 3: व्यंजक $x^3 - 2x^2 - 7x + 5$ में $x^2 - 4x + 1 = 0$ का उपयोग करें। हम $x^2 = 4x - 1$ लिख सकते हैं। व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करें: $x^3 - 2x^2 - 7x + 5 = x(x^2) - 2x^2 - 7x + 5$ $x^2$ के मान को प्रतिस्थापित करें: $= x(4x-1) - 2(4x-1) - 7x + 5$ $= 4x^2 - x - 8x + 2 - 7x + 5$ $= 4x^2 - 16x + 7$ फिर से $x^2$ के मान को प्रतिस्थापित करें: $= 4(4x-1) - 16x + 7$ $= 16x - 4 - 16x + 7$ $= 3$ सही विकल्प (C) है। $\boxed{3}$

That's 2 down. 3 left today — send the next one.