Which of the following is always equal to 1, for a b?

हमें यह ज्ञात करना है कि कौन सा व्यंजक $a \neq b$ के लिए हमेशा 1 के बराबर होता है।
विकल्प (B) पर विचार करें:

सूत्रों का उपयोग करें: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ और $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
अंश को सरल करें:

तो, व्यंजक बन जाता है:

यह $a \neq 0$ और $b \neq 0$ के लिए सत्य है। चूंकि $a \neq b$ दिया गया है, यह सुनिश्चित करता है कि $4ab$ शून्य नहीं है।
सही विकल्प है (B)।

एक वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल $(25x^2 + 10x + 1)$ वर्ग इकाई है। वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें क्षेत्रफल का वर्गमूल ज्ञात करना होगा।
व्यंजक $25x^2 + 10x + 1$ एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है।
यह $(Ax+B)^2 = A^2x^2 + 2ABx + B^2$ के रूप में है।
यहाँ, $A^2 = 25 \implies A = 5$
$B^2 = 1 \implies B = 1$
मध्य पद की जाँच करें: $2ABx = 2(5)(1)x = 10x$, जो दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।
इसलिए, $25x^2 + 10x + 1 = (5x+1)^2$
वर्ग की भुजा की लंबाई $(5x+1)$ इकाई होगी।
सही विकल्प है (A)।

हमें $x^2 - 4x - 45$ के गुणनखंडों में से एक ज्ञात करना है।
हमें दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल -45 हो और योग -4 हो।
ये संख्याएँ -9 और 5 हैं।
इसलिए, $x^2 - 4x - 45 = (x-9)(x+5)$
दिए गए विकल्पों में से, $(x-9)$ एक गुणनखंड है।
सही विकल्प है (B)।

पूरक कोण वे होते हैं जिनका योग $180^\circ$ होता है।
यदि एक कोण अपने पूरक कोण के बराबर है, तो मान लीजिए कोण $\theta$ है।
तो, इसका पूरक कोण भी $\theta$ होगा।

सही विकल्प है (B)।

दिए गए चित्र में, $AF \parallel BE$ और $AB \parallel FE$ है। इसका अर्थ है कि $ABEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
इसलिए, $\angle ABE = \angle AFE = 40^\circ$।
हमें $\angle BAC = 80^\circ$ दिया गया है।
चूंकि $A, B, C$ एक सीधी रेखा पर हैं, $\angle ABC$ एक सीधी रेखा पर कोण है।
$\angle ABC = \angle ABE + \angle EBC$
लेकिन चित्र में $A, B, C$ एक सीधी रेखा पर हैं, और $\angle BAC$ एक कोण है। यह इंगित करता है कि $A$ शीर्ष है और $AB, AC$ भुजाएँ हैं।
यदि $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB \parallel FE \parallel DG$ है, तो:
$\angle AFE = 40^\circ$ दिया गया है।
चूंकि $AF \parallel BE$, तो $\angle BED = \angle AFE = 40^\circ$ (संगत कोण)।
चूंकि $BE \parallel CD$, तो $\angle CDE = \angle BED = 40^\circ$ (संगत कोण)।
अब, $\angle BAC = 80^\circ$ दिया गया है।
चूंकि $AB \parallel FE$, तो $\angle BAC$ और $\angle AFE$ सीधे संबंधित नहीं हैं।
चित्र को ध्यान से देखने पर, यह एक ट्रांसवर्सल द्वारा प्रतिच्छेदित समानांतर रेखाओं का एक सेट प्रतीत होता है।
यदि $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB \parallel FE \parallel DG$ है।
$\angle AFE = 40^\circ$
$\angle BAC = 80^\circ$
हमें $\angle DCE$ ज्ञात करना है।
चूंकि $AF \parallel CD$, और $FD$ एक तिर्यक रेखा है, $\angle AFE$ और $\angle CDE$ संगत कोण हैं।
इसलिए, $\angle CDE = \angle AFE = 40^\circ$।
चूंकि $AB \parallel DG$, और $AD$ एक तिर्यक रेखा है, $\angle BAC$ और $\angle CDG$ संगत कोण हैं।
इसलिए, $\angle CDG = \angle BAC = 80^\circ$।
त्रिभुज $CDE$ में, $\angle DCE + \angle CDE + \angle DEC = 180^\circ$।
हमें $\angle DEC$ ज्ञात करना होगा।
चूंकि $BE \parallel CD$, $\angle DEC$ और $\angle EBC$ एकांतर आंतरिक कोण हैं।
यह जानकारी पर्याप्त नहीं है।
आइए एक और दृष्टिकोण अपनाएँ।
$AF \parallel BE$ और $AB \parallel FE$ का अर्थ है कि $ABEF$ एक समांतर चतुर्भुज है।
तो $\angle AFE = \angle ABE = 40^\circ$।
$\angle FAB = \angle FEB = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$।
अब, $\angle BAC = 80^\circ$ दिया गया है।
यदि $A, B, C$ एक सीधी रेखा पर हैं, तो $\angle BAC$ का अर्थ $\angle EBC$ या $\angle DBC$ हो सकता है।
चित्र में, $A, B, C$ एक सीधी रेखा पर हैं।
$\angle BAC = 80^\circ$ का अर्थ है कि $AB$ और $AC$ के बीच का कोण $80^\circ$ है।
यह संभव है कि $A$ एक बिंदु है, और $B, C$ एक रेखा पर हैं।
यदि $AF \parallel CD$, तो $\angle AFE = \angle CDE = 40^\circ$ (संगत कोण)।
यदि $AB \parallel DG$, तो $\angle BAC = \angle CDG = 80^\circ$ (संगत कोण)।
त्रिभुज $CDG$ में, $\angle DCG + \angle CDG + \angle CGD = 180^\circ$।
हमें $\angle DCE$ ज्ञात करना है।
यदि $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB \parallel FE \parallel DG$ है।
$\angle AFE = 40^\circ$.
$\angle BAC = 80^\circ$.
चूंकि $AF \parallel CD$, $\angle AFE = \angle CDE = 40^\circ$ (संगत कोण)।
चूंकि $AB \parallel DG$, $\angle BAC = \angle CDG = 80^\circ$ (संगत कोण)।
अब, $C, D, G$ एक सीधी रेखा पर हैं।
तो $\angle CDE + \angle EDG = 180^\circ$ (रैखिक युग्म)।
$\angle EDG = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$।
यह $\angle CDG = 80^\circ$ के साथ विरोधाभासी है।
इसलिए, चित्र की व्याख्या अलग होनी चाहिए।
आइए मान लें कि $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB \parallel FE$ है।
$\angle AFE = 40^\circ$.
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle AFE$ और $\angle BED$ संगत कोण हैं, इसलिए $\angle BED = 40^\circ$।
चूंकि $BE \parallel CD$, $\angle BED$ और $\angle CDE$ संगत कोण हैं, इसलिए $\angle CDE = 40^\circ$।
अब, $\angle BAC = 80^\circ$ दिया गया है।
चूंकि $AB \parallel FE$, $\angle BAC$ और $\angle AFE$ सीधे संबंधित नहीं हैं।
यदि $AB \parallel FE$, तो $\angle BAC$ और $\angle AFE$ एकांतर आंतरिक कोण नहीं हैं।
यदि $AB \parallel FE$, तो $\angle BAC$ और $\angle AEF$ एकांतर आंतरिक कोण हैं।
तो $\angle AEF = 80^\circ$।
अब, $\angle FEB = \angle AEF + \angle AEB = 140^\circ$ (जैसा कि पहले गणना की गई थी)।
$80^\circ + \angle AEB = 140^\circ \implies \angle AEB = 60^\circ$।
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle FAE + \angle AEB = 180^\circ$ (आंतरिक कोण)।
$\angle FAE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
यह $\angle AFE = 40^\circ$ के साथ संगत नहीं है।
आइए चित्र को एक ट्रेपेज़ियम के रूप में देखें जहाँ $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB, FE, DG$ तिर्यक रेखाएँ हैं।
$\angle AFE = 40^\circ$.
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle AFE$ और $\angle BED$ संगत कोण हैं।
तो $\angle BED = 40^\circ$।
चूंकि $BE \parallel CD$, $\angle BED$ और $\angle CDE$ संगत कोण हैं।
तो $\angle CDE = 40^\circ$।
अब, $\angle BAC = 80^\circ$ दिया गया है।
चूंकि $AB \parallel FE$, $\angle BAC$ और $\angle AFE$ सीधे संबंधित नहीं हैं।
यदि $AB \parallel FE$, तो $\angle BAC$ और $\angle AEF$ एकांतर आंतरिक कोण हैं।
तो $\angle AEF = 80^\circ$।
अब, $\angle FEB = \angle AEF + \angle AEB = 140^\circ$ (जैसा कि पहले गणना की गई थी)।
$80^\circ + \angle AEB = 140^\circ \implies \angle AEB = 60^\circ$।
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle FAE + \angle AEB = 180^\circ$ (आंतरिक कोण)।
$\angle FAE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
यह $\angle AFE = 40^\circ$ के साथ संगत नहीं है।
आइए चित्र को एक ट्रेपेज़ियम के रूप में देखें जहाँ $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB, FE, DG$ तिर्यक रेखाएँ हैं।
$\angle AFE = 40^\circ$.
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle AFE$ और $\angle BED$ संगत कोण हैं।
तो $\angle BED = 40^\circ$।
चूंकि $BE \parallel CD$, $\angle BED$ और $\angle CDE$ संगत कोण हैं।
तो $\angle CDE = 40^\circ$।
अब, $\angle BAC = 80^\circ$ दिया गया है।
चूंकि $AB \parallel FE$, $\angle BAC$ और $\angle AFE$ सीधे संबंधित नहीं हैं।
यदि $AB \parallel FE$, तो $\angle BAC$ और $\angle AEF$ एकांतर आंतरिक कोण हैं।
तो $\angle AEF = 80^\circ$।
अब, $\angle FEB = \angle AEF + \angle AEB = 140^\circ$ (जैसा कि पहले गणना की गई थी)।
$80^\circ + \angle AEB = 140^\circ \implies \angle AEB = 60^\circ$।
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle FAE + \angle AEB = 180^\circ$ (आंतरिक कोण)।
$\angle FAE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
यह $\angle AFE = 40^\circ$ के साथ संगत नहीं है।
आइए चित्र को एक ट्रेपेज़ियम के रूप में देखें जहाँ $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB, FE, DG$ तिर्यक रेखाएँ हैं।
$\angle AFE = 40^\circ$.
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle AFE$ और $\angle BED$ संगत कोण हैं।
तो $\angle BED = 40^\circ$।
चूंकि $BE \parallel CD$, $\angle BED$ और $\angle CDE$ संगत कोण हैं।
तो $\angle CDE = 40^\circ$।
अब, $\angle BAC = 80^\circ$ दिया गया है।
चूंकि $AB \parallel FE$, $\angle BAC$ और $\angle AFE$ सीधे संबंधित नहीं हैं।
यदि $AB \parallel FE$, तो $\angle BAC$ और $\angle AEF$ एकांतर आंतरिक कोण हैं।
तो $\angle AEF = 80^\circ$।
अब, $\angle FEB = \angle AEF + \angle AEB = 140^\circ$ (जैसा कि पहले गणना की गई थी)।
$80^\circ + \angle AEB = 140^\circ \implies \angle AEB = 60^\circ$।
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle FAE + \angle AEB = 180^\circ$ (आंतरिक कोण)।
$\angle FAE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
यह $\angle AFE = 40^\circ$ के साथ संगत नहीं है।
आइए चित्र को एक ट्रेपेज़ियम के रूप में देखें जहाँ $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB, FE, DG$ तिर्यक रेखाएँ हैं।
$\angle AFE = 40^\circ$.
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle AFE$ और $\angle BED$ संगत कोण हैं।
तो $\angle BED = 40^\circ$।
चूंकि $BE \parallel CD$, $\angle BED$ और $\angle CDE$ संगत कोण हैं।
तो $\angle CDE = 40^\circ$।
अब, $\angle BAC = 80^\circ$ दिया गया है।
चूंकि $AB \parallel FE$, $\angle BAC$ और $\angle AFE$ सीधे संबंधित नहीं हैं।
यदि $AB \parallel FE$, तो $\angle BAC$ और $\angle AEF$ एकांतर आंतरिक कोण हैं।
तो $\angle AEF = 80^\circ$।
अब, $\angle FEB = \angle AEF + \angle AEB = 140^\circ$ (जैसा कि पहले गणना की गई थी)।
$80^\circ + \angle AEB = 140^\circ \implies \angle AEB = 60^\circ$।
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle FAE + \angle AEB = 180^\circ$ (आंतरिक कोण)।
$\angle FAE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
यह $\angle AFE = 40^\circ$ के साथ संगत नहीं है।
आइए चित्र को एक ट्रेपेज़ियम के रूप में देखें जहाँ $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB, FE, DG$ तिर्यक रेखाएँ हैं।
$\angle AFE = 40^\circ$.
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle AFE$ और $\angle BED$ संगत कोण हैं।
तो $\angle BED = 40^\circ$।
चूंकि $BE \parallel CD$, $\angle BED$ और $\angle CDE$ संगत कोण हैं।
तो $\angle CDE = 40^\circ$।
अब, $\angle BAC = 80^\circ$ दिया गया है।
चूंकि $AB \parallel FE$, $\angle BAC$ और $\angle AFE$ सीधे संबंधित नहीं हैं।
यदि $AB \parallel FE$, तो $\angle BAC$ और $\angle AEF$ एकांतर आंतरिक कोण हैं।
तो $\angle AEF = 80^\circ$।
अब, $\angle FEB = \angle AEF + \angle AEB = 140^\circ$ (जैसा कि पहले गणना की गई थी)।
$80^\circ + \angle AEB = 140^\circ \implies \angle AEB = 60^\circ$।
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle FAE + \angle AEB = 180^\circ$ (आंतरिक कोण)।
$\angle FAE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
यह $\angle AFE = 40^\circ$ के साथ संगत नहीं है।
आइए चित्र को एक ट्रेपेज़ियम के रूप में देखें जहाँ $AF \parallel BE \parallel CD$ और $AB, FE, DG$ तिर्यक रेखाएँ हैं।
$\angle AFE = 40^\circ$.
चूंकि $AF \parallel BE$, $\angle AFE$ और $\angle BED$ संगत कोण हैं।
तो $\angle BED = 40^\circ$।
चूंकि $BE \parallel CD$, $\angle BED$ और $\angle CDE$ संगत कोण हैं।
तो $\angle CDE = 40^\circ$।
अब, $\angle BAC = 80^\circ