Résoudre dans R les équations suivantes: 1) 2mx−1=3x+m (m paramètre) 2) a) x = (1)/(2)

Nous devons considérer deux cas pour le coefficient de $x$, $(2m-3)$.

• Cas 1: $2m-3 \neq 0 \implies m \neq \frac{3}{2}$ Dans ce cas, nous pouvons diviser par $(2m-3)$.

  $$x = \frac{m+1}{2m-3}$$

  L'ensemble des solutions est $S = \left\{ \frac{m+1}{2m-3} \right\}$.

• Cas 2: $2m-3 = 0 \implies m = \frac{3}{2}$ Substituons $m = \frac{3}{2}$ dans l'équation $x(2m-3) = m+1$.

  $$x\left(2\left(\frac{3}{2}\right)-3\right) = \frac{3}{2}+1$$ $$x(3-3) = \frac{5}{2}$$ $$0x = \frac{5}{2}$$

  Cette équation n'a pas de solution, car $0 \neq \frac{5}{2}$. L'ensemble des solutions est $S = \emptyset$.

2) a) $\sin x = \frac{1}{2}$

Nous savons que $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Les solutions de $\sin x = \sin \alpha$ sont $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$.
Donc, pour $\sin x = \frac{1}{2}$:

L'ensemble des solutions est $\boxed{\left\{ \frac{\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}}$.

2) b) $\cos x = -\frac{1}{2}$

Nous savons que $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Puisque le cosinus est négatif, l'angle est dans le deuxième ou troisième quadrant.
$\cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Les solutions de $\cos x = \cos \alpha$ sont $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$.
Donc, pour $\cos x = -\frac{1}{2}$:

L'ensemble des solutions est $\boxed{\left\{ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}}$.

II) a) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant.

Additionnons l'équation (1) et l'équation (2) pour éliminer $x$.

L'ensemble des solutions est $\boxed{\{(2, 1)\}}$.

II) b) En déduire l'ensemble des solutions du système.

Soit $X = x^2$ et $Y = y^2$. Le système devient:

Ce système est identique à celui de la partie a).

D'après la partie a), les solutions pour ce système sont $X=2$ et $Y=1$.

Nous avons $X=x^2=2$ et $Y=y^2=1$.
Pour $x^2=2$:

Pour $y^2=1$:

Les solutions sont les combinaisons possibles de ces valeurs.
L'ensemble des solutions est $\boxed{\{(\sqrt{2}, 1), (\sqrt{2}, -1), (-\sqrt{2}, 1), (-\sqrt{2}, -1)\}}$.

III) 1) Dresser le tableau de signe de: $3x-12$ et $-4x+12$.

Pour $3x-12$:

Pour $-4x+12$:

III) 2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation: $|3x-12|+|-4x+12|=5$.

$|3x-12| = |3(x-4)| = 3|x-4|$
$|-4x+12| = |-4(x-3)| = 4|x-3|$
L'équation devient $3|x-4| + 4|x-3| = 5$.

• Cas 1: $x < 3$ Dans cet intervalle, $x-4 < 0$ et $x-3 < 0$. Donc, $|x-4| = -(x-4)$ et $|x-3| = -(x-3)$. L'équation devient:

  $$3(-(x-4)) + 4(-(x-3)) = 5$$ $$-3x+12 -4x+12 = 5$$ $$-7x+24 = 5$$ $$-7x = 5-24$$ $$-7x = -19$$ $$x = \frac{19}{7}$$

  Puisque $\frac{19}{7} \approx 2.71$, cette solution est dans l'intervalle $x < 3$. Donc $x=\frac{19}{7}$ est une solution.

• Cas 2: $3 \le x < 4$ Dans cet intervalle, $x-4 < 0$ et $x-3 \ge 0$. Donc, $|x-4| = -(x-4)$ et $|x-3| = x-3$. L'équation devient:

  $$3(-(x-4)) + 4(x-3) = 5$$ $$-3x+12 + 4x-12 = 5$$ $$x = 5$$

  Cette solution $x=5$ n'est pas dans l'intervalle $3 \le x < 4$. Donc, pas de solution dans cet intervalle.

• Cas 3: $x \ge 4$ Dans cet intervalle, $x-4 \ge 0$ et $x-3 \ge 0$. Donc, $|x-4| = x-4$ et $|x-3| = x-3$. L'équation devient:

  $$3(x-4) + 4(x-3) = 5$$ $$3x-12 + 4x-12 = 5$$ $$7x-24 = 5$$ $$7x = 5+24$$ $$7x = 29$$ $$x = \frac{29}{7}$$

  Puisque $\frac{29}{7} \approx 4.14$, cette solution est dans l'intervalle $x \ge 4$. Donc $x=\frac{29}{7}$ est une solution.

L'ensemble des solutions est $\boxed{\left\{ \frac{19}{7}, \frac{29}{7} \right\}}$.

**IV) 1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation: $x^2+5x-