Remplacer f(x) par y.

La fonction donnée est $f(x) = 1 + \sqrt{3x+2}$.
On écrit :

$$y = 1 + \sqrt{3x+2}$$

Pour trouver la fonction inverse, on échange les rôles de $x$ et $y$:

$$x = 1 + \sqrt{3y+2}$$

Isolons le terme avec la racine carrée :

$$x - 1 = \sqrt{3y+2}$$

Pour éliminer la racine carrée, élevons les deux côtés au carré :

$$(x-1)^2 = (\sqrt{3y+2})^2$$ $$(x-1)^2 = 3y+2$$

Maintenant, isolons $3y$ :

$$3y = (x-1)^2 - 2$$

Enfin, divisons par 3 pour obtenir $y$ :

$$y = \frac{(x-1)^2 - 2}{3}$$

On peut aussi écrire cela comme :

$$y = \frac{1}{3}(x-1)^2 - \frac{2}{3}$$

La fonction inverse est donc :

$$f^{-1}(x) = \frac{1}{3}(x-1)^2 - \frac{2}{3}$$

En comparant ce résultat avec les options données, l'option C est $f^{-1}(x) = \frac{1}{3}(y-1)^2 - \frac{2}{3}$. Il semble y avoir une erreur de variable dans l'option C, où $y$ est utilisé au lieu de $x$. En supposant que c'est une faute de frappe et que $y$ devrait être $x$, alors l'option C correspond à notre résultat.

La bonne option est C.

$$\text{C: } f^{-1}(x) = \frac{1}{3}(x-1)^2 - \frac{2}{3}$$