यदि S समतलों x = 0, x = a, y = 0, y = a, z = 0, z = a से परिबद्ध घन के पृष्ठ को निष्कापित करता है, तो गाउस प्रमेय के प्रयोग से ∫∫s(x³-yz)î - 2x²yj + 2kĥ.ñ ds का मान है

गॉस का अपसरण प्रमेय कहता है कि एक बंद सतह $S$ पर एक सदिश क्षेत्र $\vec{F}$ का सतह समाकल उस सतह द्वारा परिबद्ध आयतन $V$ पर $\vec{F}$ के अपसरण के आयतन समाकल के बराबर होता है:

$$\iint_S \vec{F} \cdot \hat{n} \,dS = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) \,dV$$

दिया गया सदिश क्षेत्र है:

$$\vec{F} = (x^3 - yz)\hat{i} - 2x^2y\hat{j} + 2\hat{k}$$

यहाँ, $F_x = x^3 - yz$, $F_y = -2x^2y$, और $F_z = 2$।

अपसरण की गणना इस प्रकार की जाती है:

$$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

प्रत्येक घटक का आंशिक अवकलज ज्ञात करें:

$$\frac{\partial F_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 - yz) = 3x^2$$ $$\frac{\partial F_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2x^2y) = -2x^2$$ $$\frac{\partial F_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2) = 0$$

अब, अपसरण की गणना करें:

$$\nabla \cdot \vec{F} = 3x^2 - 2x^2 + 0 = x^2$$

हमें $\iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) \,dV$ की गणना करनी है। आयतन $V$ एक घन है जो समतलों $x=0, x=a, y=0, y=a, z=0, z=a$ से परिबद्ध है।
इसलिए, समाकलन की सीमाएँ हैं:
$0 \le x \le a$
$0 \le y \le a$
$0 \le z \le a$
समाकल इस प्रकार है:

$$\iiint_V x^2 \,dx\,dy\,dz = \int_0^a \int_0^a \int_0^a x^2 \,dx\,dy\,dz$$

हम समाकल को अलग-अलग समाकलों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं:

$$\left( \int_0^a x^2 \,dx \right) \cdot \left( \int_0^a dy \right) \cdot \left( \int_0^a dz \right)$$

प्रत्येक समाकल की गणना करें:

$$\int_0^a x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^a = \frac{a^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{a^3}{3}$$ $$\int_0^a dy = [y]_0^a = a - 0 = a$$ $$\int_0^a dz = [z]_0^a = a - 0 = a$$

अब इन परिणामों को गुणा करें:

$$\left( \frac{a^3}{3} \right) \cdot (a) \cdot (a) = \frac{a^3 \cdot a^2}{3} = \frac{a^5}{3}$$

The final answer is $\text{(1) }\frac{1}{3} a^5$.