यदि S समतलों x = 0, x = a, y = 0, y = a, z = 0, z = a से परिबद्ध घन के पृष्ठ को निष्कापित करता है, तो गाउस प्रमेय के प्रयोग से ∫∫s(x³-yz)î - 2x²yj + 2kĥ.ñ ds का मान है

Step 1: गॉस के अपसरण प्रमेय (Gauss's Divergence Theorem) का उपयोग करें। गॉस का अपसरण प्रमेय कहता है कि एक बंद सतह S पर एक सदिश क्षेत्र F का सतह समाकल उस सतह द्वारा परिबद्ध आयतन V पर F के अपसरण के आयतन समाकल के बराबर होता है: _S F · n \,dS = _V ( · F) \,dV Step 2: सदिश क्षेत्र F को पहचानें। दिया गया सदिश क्षेत्र है: F = (x^3 - yz)i - 2x^2yj + 2k यहाँ, F_x = x^3 - yz, F_y = -2x^2y, और F_z = 2। Step 3: F का अपसरण ( · F) ज्ञात करें। अपसरण की गणना इस प्रकार की जाती है: · F = ( F_x)/( x) + ( F_y)/( y) + ( F_z)/( z) प्रत्येक घटक का आंशिक अवकलज ज्ञात करें: ( F_x)/( x) = ()/( x)(x^3 - yz) = 3x^2 ( F_y)/( y) = ()/( y)(-2x^2y) = -2x^2 ( F_z)/( z) = ()/( z)(2) = 0 अब, अपसरण की गणना करें: · F = 3x^2 - 2x^2 + 0 = x^2 Step 4: आयतन समाकल (Volume Integral) स्थापित करें। हमें _V ( · F) \,dV की गणना करनी है। आयतन V एक घन है जो समतलों x=0, x=a, y=0, y=a, z=0, z=a से परिबद्ध है। इसलिए, समाकलन की सीमाएँ हैं: 0 x a 0 y a 0 z a समाकल इस प्रकार है: _V x^2 \,dx\,dy\,dz = _0^a _0^a _0^a x^2 \,dx\,dy\,dz Step 5: आयतन समाकल की गणना करें। हम समाकल को अलग-अलग समाकलों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं: ( _0^a x^2 \,dx ) · ( _0^a dy ) · ( _0^a dz ) प्रत्येक समाकल की गणना करें: _0^a x^2 \,dx = [ (x^3)/(3) ]_0^a = (a^3)/(3) - (0^3)/(3) = (a^3)/(3) _0^a dy = [y]_0^a = a - 0 = a _0^a dz = [z]_0^a = a - 0 = a अब इन परिणामों को गुणा करें: ( (a^3)/(3) ) · (a) · (a) = (a^3 · a^2)/(3) = (a^5)/(3) The final answer is (1) (1)/(3) a^5. अगला प्रश्न भेजें 📸