SECTION A: PURE MATHEMATICS Two functions f: G → R, g: G → R. Given that f(x) = x2 – 1 and g(x) = 2x + 1. g(2) =

Voici les solutions aux questions que vous avez envoyées. Question 1: On nous donne les fonctions f(x) = x^2 - 1 et g(x) = 2x + 1. Nous devons trouver g(f(2)). Étape 1 : Calculer f(2). f(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 Étape 2 : Calculer g(f(2)), ce qui est g(3). g(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7 La valeur de g(f(2)) est 7. B. 7 Question 2: Si _y x = 2 et xy = 125, nous devons trouver les valeurs de x et y. Étape 1 : Convertir l'équation logarithmique en forme exponentielle. _y x = 2 x = y^2 Étape 2 : Substituer x = y^2 dans la deuxième équation xy = 125. (y^2)y = 125 y^3 = 125 Étape 3 : Résoudre pour y. y = [3]125 y = 5 Étape 4 : Substituer y=5 dans x = y^2 pour trouver x. x = (5)^2 x = 25 Les valeurs de x et y sont respectivement 25 et 5. D. 25 and 5 Question 3: Nous devons trouver les asymptotes verticales de la courbe y = ((x-2)(x+3))/((x+3)(x-2)). Étape 1 : Identifier les valeurs de x qui annulent le dénominateur. Le dénominateur est (x+3)(x-2). Il est égal à zéro lorsque x+3=0 x=-3 ou x-2=0 x=2. Étape 2 : Analyser la fonction. La fonction peut être simplifiée à y=1, à condition que x ≠ -3 et x ≠ 2. Lorsque des facteurs s'annulent à la fois au numérateur et au dénominateur, cela indique une discontinuité amovible (un "trou") dans le graphe, et non une asymptote verticale. Cependant, dans le contexte des questions à choix multiples de ce type, les "asymptotes verticales" peuvent parfois faire référence aux valeurs de x pour lesquelles la fonction est indéfinie en raison d'une division par zéro. Dans ce cas, les valeurs sont x=2 et x=-3. B. x=2, x=-3 Question 4: Lorsque le polynôme p(x) = ax^3 + 5x^2 + 2x - 8 est divisé par (x-1), le reste est -3. Nous devons trouver la valeur de a. Étape 1 : Utiliser le théorème du reste. Le théorème du reste stipule que si un polynôme p(x) est divisé par (x-c), le reste est p(c). Ici, c=1 et le reste est -3, donc p(1) = -3. Étape 2 : Substituer x=1 dans p(x) et égaliser à -3. p(1) = a(1)^3 + 5(1)^2 + 2(1) - 8 = -3 a + 5 + 2 - 8 = -3 a - 1 = -3 Étape 3 : Résoudre pour a. a = -3 + 1 a = -2 La valeur de a est -2. B. -2 Question 5: Nous devons trouver l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles ((x+1)^2(x+3))/((x+3)(x-2)) < 0. Étape 1 : Identifier les points critiques et les restrictions. Les points où le numérateur ou le dénominateur est zéro sont x=-1, x=-3, x=2. La fonction est indéfinie pour x=-3 et x=2 (car le dénominateur serait zéro). Si x=-1, l'expression est (0)/((-1+3)(-1-2)) = (0)/((2)(-3)) = 0, ce qui n'est pas strictement inférieur à 0. Donc x ≠ -1. Étape 2 : Analyser le signe de l'expression dans les intervalles définis par les points critiques. L'expression est E(x) = ((x+1)^2(x+3))/((x+3)(x-2)). • Pour x < -3: (x+1)^2 > 0, (x+3) < 0, (x-2) < 0. Donc E(x) = ((+)(-))/((-)) = (+). • Pour -3 < x < -1: (x+1)^2 > 0, (x+3) > 0, (x-2) < 0. Donc E(x) = ((+)(+))/((-)) = (-). • Pour x = -1: E(x) = 0, ce qui n'est pas < 0. • Pour -1 < x < 2: (x+1)^2 > 0, (x+3) > 0, (x-2) < 0. Donc E(x) = ((+)(+))/((-)) = (-). • Pour x > 2: (x+1)^2 > 0, (x+3) > 0, (x-2) > 0. Donc E(x) = ((+)(+))/((+)) = (+). Étape 3 : Déterminer les intervalles où E(x) < 0. L'expression est négative pour x (-3, -1) et x (-1, 2). L'ensemble solution est donc (-3, -1) (-1, 2). Ceci peut être écrit comme \x : -3 < x < 2 et x ≠ -1\. Parmi les options données : A \x : x < -3 ou x > 2\ B \x : x -3 ou x 2\ C \x : -3 x < 2\ D \x : -3 < x < 2\ L'option D, \x : -3 < x < 2\, est l'intervalle (-3, 2). Cet intervalle inclut x=-1, pour lequel l'expression est 0 et non strictement négative. Cependant, c'est l'option la plus proche de la solution correcte dans un contexte de choix multiples. D. \x : -3 < x < 2\ Question 6: Une fonction f: R R est définie par f(x) = 4k + 4x, & si x 1 \\ 4x - k^2 - 4, & si x > 1 . Si f(x) a une limite lorsque x 1, nous devons trouver la valeur de k. Étape 1 : Pour qu'une limite existe en x=1, la limite à gauche doit être égale à la limite à droite. _x 1^- f(x) = _x 1^+ f(x) Étape 2 : Calculer la limite à gauche. Pour x 1, f(x) = 4k + 4x. _x 1^- f(x) = 4k + 4(1) = 4k + 4 Étape 3 : Calculer la limite à droite. Pour x > 1, f(x) = 4x - k^2 - 4. _x 1^+ f(x) = 4(1) - k^2 - 4 = 4 - k^2 - 4 = -k^2 Étape 4 : Égaliser les limites et résoudre pour k. 4k + 4 = -k^2 k^2 + 4k + 4 = 0 Ceci est un trinôme carré parfait : (k+2)^2 = 0. Étape 5 : Résoudre pour k. k+2 = 0 k = -2 La valeur de k est -2. D. -2 Question 7: Soient p et q des propositions. Le tableau de vérité donné est : p | q | ? --|---|--- T | T | T T | F | T F | T | F F | F | T Nous devons identifier la proposition composée. Étape 1 : Analyser le tableau de vérité. La proposition est fausse uniquement lorsque p est Faux et q est Vrai. Étape 2 : Tester des propositions composées connues ou construire l'expression. Considérons la proposition p q. p | q | q | p q --|---|-------|------------- T | T | F | T T | F | T | T F | T | F | F F | F | T | T Ce tableau correspond exactement au tableau donné. La proposition composée est p q. p q Question 8: Le tableau de vérité donné est : p | q | ? --|---|--- T | T | F T | F | T F | T | F F | F | T Nous devons identifier la proposition composée. Étape 1 : Analyser le tableau de vérité. La proposition est Vraie uniquement lorsque p est Vrai et q est Faux, ou lorsque p est Faux et q est Faux. La proposition est Fausse lorsque q est Vrai. Étape 2 : Tester des propositions composées connues ou construire l'expression. Considérons la proposition q. p | q | q --|---|------- T | T | F T | F | T F | T | F F | F | T Ce tableau correspond exactement au tableau donné. La proposition composée est q. Les options A, B, C, D fournies dans l'image pour cette question concernent des paires de lignes parallèles, et non des propositions logiques. Il semble y avoir une erreur dans les options fournies pour cette question. q That's 2 down. 3 left today — send the next one.