SECTION A: QUESTIONS JUNE 2017 Find the set of values of k for which the roots of the quadratic equation…

Question

SECTION A: QUESTIONS JUNE 2017 Find the set of values of k for which the roots of the quadratic equation x2-kx+2k+2=0 are real and different. (ii) Given that 23 = 3 and that x + y = 1, show that x = log 3 / log 6.

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Pour que les racines d'une équation quadratique $ax^2 + bx + c = 0$ soient réelles et différentes, le discriminant $\Delta$ doit être strictement positif ( $\Delta > 0$ ).

Identifier les coefficients de l'équation quadratique.
L'équation donnée est $x^2 - kx + 2k - 2 = 0$ .
Nous avons :
$a = 1$
$b = -k$
$c = 2k - 2$
Calculer le discriminant $\Delta$ .
La formule du discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Substituons les valeurs des coefficients :
$\Delta = (-k)^2 - 4(1)(2k - 2)$ $\Delta = k^2 - 8k + 8$
Résoudre l'inégalité $\Delta > 0$ .
Pour que les racines soient réelles et différentes, nous devons avoir :
$k^2 - 8k + 8 > 0$
Pour résoudre cette inégalité, trouvons d'abord les racines de l'équation $k^2 - 8k + 8 = 0$ .
Utilisons la formule quadratique $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ pour cette équation en $k$ :
$k = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)}$ $k = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2}$ $k = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2}$ $k = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2}$ $k = 4 \pm 2\sqrt{2}$
Les racines sont $k_1 = 4 - 2\sqrt{2}$ et $k_2 = 4 + 2\sqrt{2}$ .
Puisque le coefficient de $k^2$ est positif (1), la parabole $y = k^2 - 8k + 8$ s'ouvre vers le haut. L'inégalité $k^2 - 8k + 8 > 0$ est donc satisfaite lorsque $k$ est inférieur à la plus petite racine ou supérieur à la plus grande racine.
Ainsi, $k < 4 - 2\sqrt{2}$ ou $k > 4 + 2\sqrt{2}$ .

L'ensemble des valeurs de $k$ est :
$]-\infty ; 4 - 2\sqrt{2}[ \cup ]4 + 2\sqrt{2} ; +\infty[$

SECTION A: QUESTIONS JUNE 2017 Find the set of values of k for which the roots of the quadratic equation x2−kx+2k+2=0 are real and different. (ii) Given that 23 = 3 and that x + y = 1, show that x = log 3 / log 6.

Answer

Step-by-step solution

Identifier les coefficients de l'équation quadratique.

Calculer le discriminant $\Delta$ .

Résoudre l'inégalité $\Delta > 0$ .

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