Soit (Un)n une suite définie par Un = [8((1)/(2))ⁿ]. 1-a) Calculer U0; U1 et U2. b) Montrer que (Un) est une suite arithmétique dont on précisera sa raison. On pose S=U0+U1+...+U9. Calculer S en fonction de 2.

$$U_n = \ln\left[8 \left(\frac{1}{2}\right)^n\right]$$ $$U_n = \ln(8) + \ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)$$ $$U_n = \ln(2^3) + n \ln\left(2^{-1}\right)$$ $$U_n = 3\ln(2) - n\ln(2)$$ $$U_n = (3-n)\ln(2)$$

$$U_2 = (3-2)\ln(2) = \boxed{\ln(2)}$$

1-b) Montrer que $(U_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera sa raison.

$$U_{n+1} = (3-(n+1))\ln(2) = (3-n-1)\ln(2) = (2-n)\ln(2)$$ $$U_{n+1} - U_n = (2-n)\ln(2) - (3-n)\ln(2)$$ $$U_{n+1} - U_n = (2-n - (3-n))\ln(2)$$ $$U_{n+1} - U_n = (2-n-3+n)\ln(2)$$ $$U_{n+1} - U_n = (-1)\ln(2) = -\ln(2)$$

Puisque la différence $U_{n+1} - U_n$ est une constante, la suite $(U_n)$ est une suite arithmétique.
Sa raison est $\boxed{r = -\ln(2)}$.

On pose $S = U_0 + U_1 + \dots + U_9$. Calculer $S$ en fonction de $\ln 2$.

La somme $S$ est la somme des termes d'une suite arithmétique.

• Le premier terme est $U_0 = 3\ln(2)$.
• La raison est $r = -\ln(2)$.
• Le nombre de termes est $N = 9 - 0 + 1 = 10$.
• Le dernier terme est $U_9$.

La formule est $S = \frac{\text{Nombre de termes}}{2} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})$.

$$S = \frac{10}{2} (U_0 + U_9)$$ $$S = 5 (3\ln(2) + (-6\ln(2)))$$ $$S = 5 (3\ln(2) - 6\ln(2))$$ $$S = 5 (-3\ln(2))$$ $$S = \boxed{-15\ln(2)}$$