Prove that the points (3, -2), (-5, 4) and (-1, 1) are collinear.

तीन बिंदुओं को संरेखीय (collinear) सिद्ध करने के लिए, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि तीन बिंदु संरेखीय हैं, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।

दिए गए बिंदु हैं: $A = (x_1, y_1) = (3, -2)$ $B = (x_2, y_2) = (-5, 4)$ $C = (x_3, y_3) = (-1, 1)$

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $Area = \frac{1}{2} [x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]$

Step 1: दिए गए बिंदुओं के निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें। $Area = \frac{1}{2} [3(4 - 1) + (-5)(1 - (-2)) + (-1)(-2 - 4)]$

Step 2: कोष्ठकों के अंदर की गणना करें। $Area = \frac{1}{2} [3(3) + (-5)(1 + 2) + (-1)(-6)]$ $Area = \frac{1}{2} [3(3) + (-5)(3) + (-1)(-6)]$

Step 3: गुणा करें और योग करें। $Area = \frac{1}{2} [9 - 15 + 6]$ $Area = \frac{1}{2} [15 - 15]$ $Area = \frac{1}{2} [0]$

Step 4: क्षेत्रफल की गणना करें। $Area = 0$

चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है, इसलिए दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।

अतः, बिंदु $(3, -2)$, $(-5, 4)$ और $(-1, 1)$ संरेखीय हैं। $\boxed{संरेखीय}$

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