The parametric equation of a function are x = 2cos³θ, y = 2sin³θ. Find the equation of tangent and normal at the point for which θ = π/4 = 45°

On substitue $\theta = \frac{\pi}{4}$ dans les équations paramétriques $x = 2\cos^3\theta$ et $y = 2\sin^3\theta$.
On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$$x_1 = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = 2\left(\frac{2\sqrt{2}}{8}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y_1 = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = 2\left(\frac{2\sqrt{2}}{8}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Le point est donc $P\left(\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Pour $x = 2\cos^3\theta$:

$$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cdot 3\cos^2\theta \cdot (-\sin\theta) = -6\cos^2\theta\sin\theta$$

Pour $y = 2\sin^3\theta$:

$$\frac{dy}{d\theta} = 2 \cdot 3\sin^2\theta \cdot (\cos\theta) = 6\sin^2\theta\cos\theta$$

La pente de la tangente est donnée par $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{6\sin^2\theta\cos\theta}{-6\cos^2\theta\sin\theta} = -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta$$

Pour $\theta = \frac{\pi}{4}$:

$$m_t = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$$

L'équation de la tangente est de la forme $y - y_1 = m_t(x - x_1)$.

$$y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -x + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y = -x + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y = -x + \sqrt{2}$$

L'équation de la tangente est $\boxed{x + y - \sqrt{2} = 0}$.

La pente de la normale $m_n$ est l'opposé de l'inverse de la pente de la tangente.

$$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$$

L'équation de la normale est de la forme $y - y_1 = m_n(x - x_1)$.

$$y - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$y - \frac{\sqrt{2}}{2} = x - \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y = x$$

L'équation de la normale est $\boxed{x - y = 0}$.