Using mathematics analysis, equations and interpretations: address the needs of John and Mr. Lunzi, the shop owner. Determine the base area of the second room and the correct pin.

Huu hapa ni uchambuzi wa hisabati na majibu kwa maswali uliyotoa:

Sehemu (a): Kushughulikia mahitaji ya John na Bw. Luali, mmiliki wa duka.

• Mahitaji ya John: Kwanza, tunahitaji kupata bei za kitabu kimoja ($b$), seti moja ($s$), na kalamu moja ya compo ($p$). Tunatumia taarifa zifuatazo kuunda milinganyo:

  1. Annet alitumia Shs 18,300 kwa vitabu 5, seti 9, na kalamu 7: $$5b + 9s + 7p = 18300 \quad \text{(Mlinganyo 1)}$$
  2. Cissy alitumia Shs 8,500 pungufu kuliko Annet. Hivyo, Cissy alitumia $18300 - 8500 = 9800$ Shs kwa vitabu 6, seti 2, na kalamu 8: $$6b + 2s + 8p = 9800 \quad \text{(Mlinganyo 2)}$$
  3. Betty na Cissy walitumia jumla ya Shs 90,250. Kwa kuwa Cissy alitumia Shs 9,800, Betty alitumia $90250 - 9800 = 80450$ Shs kwa vitabu 8, seti 6, na kalamu 4: $$8b + 6s + 4p = 80450 \quad \text{(Mlinganyo 3)}$$

  Tunatatua mfumo huu wa milinganyo mitatu.
  Kutoka Mlinganyo 2, gawanya kwa 2: $3b + s + 4p = 4900 \implies s = 4900 - 3b - 4p$.
  Kutoka Mlinganyo 3, gawanya kwa 2: $4b + 3s + 2p = 40225$.

  Tunabadilisha $s$ katika Mlinganyo 1 na Mlinganyo 3 (iliyogawanywa):

  • Badilisha $s$ katika Mlinganyo 1: $$5b + 9(4900 - 3b - 4p) + 7p = 18300$$ $$5b + 44100 - 27b - 36p + 7p = 18300$$ $$-22b - 29p = 18300 - 44100$$ $$-22b - 29p = -25800 \implies 22b + 29p = 25800 \quad \text{(Mlinganyo A)}$$
  • Badilisha $s$ katika Mlinganyo 3 (iliyogawanywa): $$4b + 3(4900 - 3b - 4p) + 2p = 40225$$ $$4b + 14700 - 9b - 12p + 2p = 40225$$ $$-5b - 10p = 40225 - 14700$$ $$-5b - 10p = 25525 \implies 5b + 10p = -25525 \quad \text{(Mlinganyo B)}$$

  Kutoka Mlinganyo B, tunaona kuwa $5b + 10p$ ni nambari hasi. Hii inamaanisha kuwa angalau moja ya bei ($b$ au $p$) lazima iwe hasi, jambo ambalo haliwezekani katika muktadha wa bei halisi. Hii inaonyesha kuwa kuna utata katika nambari zilizotolewa kwenye swali. Hata hivyo, tutaendelea na hesabu kwa kutumia nambari hizi.

  Tunatatua Mlinganyo A na B:
  Kutoka Mlinganyo B, $p = \frac{-25525 - 5b}{10} = -2552.5 - 0.5b$.
  Badilisha $p$ katika Mlinganyo A:

  $$22b + 29(-2552.5 - 0.5b) = 25800$$ $$22b - 74022.5 - 14.5b = 25800$$ $$7.5b = 25800 + 74022.5$$ $$7.5b = 99822.5$$ $$b = \frac{99822.5}{7.5} = 13309.666... \approx 13309.67 \text{ Shs}$$

  Sasa pata $p$:

  $$p = -2552.5 - 0.5(13309.67) = -2552.5 - 6654.835 = -9207.335 \text{ Shs}$$

  Sasa pata $s$:

  $$s = 4900 - 3(13309.67) - 4(-9207.335)$$ $$s = 4900 - 39929.01 + 36829.34 = 1800.33 \text{ Shs}$$

  Bei zilizopatikana ni:

  • Bei ya kitabu ($b$) $\approx$ Shs 13,309.67
  • Bei ya seti ($s$) $\approx$ Shs 1,800.33
  • Bei ya kalamu ya compo ($p$) $\approx$ Shs -9,207.34 (Bei hasi inaonyesha utata katika swali)

  Gharama ya John:
  John anahitaji vitabu 7, seti 4, na kalamu 6.
  Gharama ya John $= 7b + 4s + 6p$
  Gharama ya John $= 7(13309.67) + 4(1800.33) + 6(-9207.34)$
  Gharama ya John $= 93167.69 + 7201.32 - 55244.04$
  Gharama ya John $= 45124.97 \text{ Shs}$

  Hitimisho kwa John:
  John ana Shs 27,000. Gharama ya vitu anavyotaka ni takriban Shs 45,124.97.
  Kwa hivyo, Shs 27,000 haitoshi kwa John kununua vitu anavyotaka, kwa kuzingatia bei hizi zilizopatikana (licha ya utata wa bei hasi).

• Mahitaji ya Bw. Luali: Faida ya Bw. Luali inatolewa na $P(x) = x^2 - 700x + 20000$, ambapo $x$ ni idadi ya vitabu vilivyouzwa.

  1. Faida ndogo zaidi (Wednesday 3rd June 2026): Faida ndogo zaidi hutokea kwenye kipeo cha parabola $x = -\frac{b}{2a}$.

     $$x = -\frac{-700}{2(1)} = \frac{700}{2} = 350$$

     Idadi ya vitabu vilivyouzwa kwa faida ndogo zaidi ni 350. Faida ndogo zaidi $P(350) = (350)^2 - 700(350) + 20000$

     $$P(350) = 122500 - 245000 + 20000$$ $$P(350) = -102500 \text{ Shs}$$

     Hii inamaanisha Bw. Luali alipata hasara ya Shs 102,500.

  2. Idadi ya vitabu vilivyouzwa kwa faida ya Shs 180,000 (Sunday 7th June 2026): Tunahitaji kupata $x$ wakati $P(x) = 180000$.

     $$x^2 - 700x + 20000 = 180000$$ $$x^2 - 700x - 160000 = 0$$

     Tunatumia fomula ya quadratic: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

     $$x = \frac{700 \pm \sqrt{(-700)^2 - 4(1)(-160000)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{700 \pm \sqrt{490000 + 640000}}{2}$$ $$x = \frac{700 \pm \sqrt{1130000}}{2}$$ $$x = \frac{700 \pm 1063.014}{2}$$

     Tuna maadili mawili ya $x$:

     $$x_1 = \frac{700 + 1063.014}{2} = \frac{1763.014}{2} \approx 881.5$$ $$x_2 = \frac{700 - 1063.014}{2} = \frac{-363.014}{2} \approx -181.5$$

     Kwa kuwa idadi ya vitabu haiwezi kuwa hasi, tunachukua $x \approx 881.5$. Kwa kuwa vitabu huuzwa kama nambari kamili, tunaweza kusema vitabu 881 au 882. Ikiwa $x=882$, $P(882) = (882)^2 - 700(882) + 20000 = 777924 - 617400 + 20000 = 180524$ Shs. Ikiwa $x=881$, $P(881) = (881)^2 - 700(881) + 20000 = 776161 - 616700 + 20000 = 179461$ Shs. Zote mbili ziko karibu na Shs 180,000. Tutatumia 882 kama jibu la karibu zaidi.

  Hitimisho kwa Bw. Luali:

  • Faida ndogo zaidi (hasara ya Shs 102,500) ilipatikana alipouza vitabu 350.
  • Ili kupata faida ya takriban Shs 180,000, Bw. Luali aliuza takriban vitabu 882.

Sehemu (b): Kuamua eneo la msingi la chumba cha pili na nambari sahihi ya siri (pin).

• Eneo la msingi la chumba cha pili:

  1. Chumba cha kwanza kina vipimo vya mita 4 kwa mita 2.
  2. Ulalo wa chumba cha kwanza ($d$): Tunatumia theorem ya Pythagoras. $$d^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$$ $$d = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \text{ mita}$$
  3. Urefu wa upande wa chumba cha pili ($L$): Ni mita 1 zaidi ya ulalo wa chumba cha kwanza. $$L = 2\sqrt{5} + 1 \text{ mita}$$
  4. Eneo la msingi la chumba cha pili (chumba cha mraba) ni $L^2$: $$\text{Eneo} = (2\sqrt{5} + 1)^2$$ $$\text{Eneo} = (2\sqrt{5})^2 + 2(2\sqrt{5})(1) + 1^2$$ $$\text{Eneo} = (4 \times 5) + 4\sqrt{5} + 1$$ $$\text{Eneo} = 20 + 4\sqrt{5} + 1$$ $$\text{Eneo} = (21 + 4\sqrt{5}) \text{ mita za mraba}$$ Hii iko katika mfumo wa $a + b\sqrt{c}$, ambapo $a=21$, $b=4$, na $c=5$.

• Nambari sahihi ya siri (pin): Tunahitaji kupanga mizizi ya mlinganyo wa polynomial $x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0$ kutoka kubwa hadi ndogo.

  1. Tunajaribu mizizi inayowezekana (vipande vya 15): $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. Jaribu $x=1$: $1^3 - 9(1)^2 + 23(1) - 15 = 1 - 9 + 23 - 15 = 0$. Hivyo, $x=1$ ni mzizi.
  2. Tunatumia mgawanyo wa polynomial (synthetic division) na mzizi $x=1$:

     1 | 1  -9   23  -15
       |    1   -8   15
       -----------------
         1  -8   15    0
     

     Copy
     Mlinganyo wa quadratic uliobaki ni $x^2 - 8x + 15 = 0$.
  3. Tunatatua mlinganyo wa quadratic: $$(x-3)(x-5) = 0$$ Hivyo, mizizi mingine ni $x=3$ na $x=5$.
  4. Mizizi ya mlinganyo ni 1, 3, na 5.
  5. Tunapanga mizizi kutoka kubwa hadi ndogo: 5, 3, 1.
  6. Nambari ya siri ya tarakimu tatu ni 531.

Majibu ya Mwisho:

• a) Mahitaji ya John na Bw. Luali:

  • John: Gharama ya vitu anavyotaka ni takriban Shs 45,124.97. John ana Shs 27,000, kwa hivyo haitoshi. (Kumbuka: Bei hasi ya kalamu ya compo inaonyesha utata katika data ya swali).
  • Bw. Luali: Faida ndogo zaidi (hasara ya Shs 102,500) ilipatikana alipouza vitabu 350. Ili kupata faida ya takriban Shs 180,000, aliuza takriban vitabu 882.

• b) Eneo la msingi la chumba cha pili na nambari sahihi ya siri:

  • Eneo la msingi la chumba cha pili ni $\boxed{(21 + 4\sqrt{5}) \text{ mita za mraba}}$.
  • Nambari sahihi ya siri ni $\boxed{531}$.