State whether the following statements are True or False. Provide a brief mathematical or engineering reason for your choice.

ምክንያት: የስትራክቸራል ጥንካሬ ማትሪክስ $K$ ዲተርሚናንት ዜሮ ከሆነ ($\det(K) = 0$)፣ ስርዓቱ ነፃ የመንቀሳቀስ ደረጃዎች አሉት (mechanism) ወይም ያልተረጋጋ ነው። ስለዚህ፣ በማንኛውም ጭነት ስር ልዩ የሆነ የተረጋጋ ሚዛናዊ አቀማመጥ አይኖረውም።

ምክንያት: የማትሪክስ ዲተርሚናንት በመደመር ላይ መስመራዊ አይደለም። በአጠቃላይ፣ $\det(A + B) \neq \det(A) + \det(B)$። ለምሳሌ፣ $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ እና $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ቢሆኑ፣ $\det(A) = 0$ እና $\det(B) = 0$ ሲሆኑ፣ $A+B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ እና $\det(A+B) = 1$ ይሆናል።

ምክንያት: $\infty - \infty$ ያልተወሰነ ቅርጽ (indeterminate form) ነው። የልዩነቱ ገደብ 0 መሆን የለበትም። ለምሳሌ፣ $f(x) = \frac{1}{x^2} + 5$ እና $g(x) = \frac{1}{x^2}$ ሲሆኑ $x \to 0$፣ ሁለቱም ወደ $\infty$ ይሄዳሉ፣ ነገር ግን $\lim_{x \to 0} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to 0} 5 = 5$ ይሆናል።

ምክንያት: ለ $n \times n$ መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ($Ax=b$)፣ ልዩ የሆነ መፍትሄ የሚኖረው የኮፊሸንት ማትሪክስ $A$ ሙሉ ደረጃ (full rank) ሲሆን ብቻ ነው። ማለትም፣ ደረጃው (rank) ከማትሪክሱ ልኬት $n$ ጋር እኩል ሲሆን ነው። በዚህ ሁኔታ $n=3$ ነው።

ምክንያት: ይህ በመሰረታዊ ትሪጎኖሜትሪክ ገደቦች ውስጥ የሚታወቅ ነው። $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan(\theta)}{\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta \cos(\theta)} = \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin(\theta)}{\theta} \cdot \frac{1}{\cos(\theta)} \right) = 1 \cdot 1 = 1$።

ምክንያት: የጽንፈኛ እሴት ቲዎረም (Extreme Value Theorem) እንደሚለው፣ አንድ ተግባር $f$ በተዘጋ ክፍተት $[a,b]$ ላይ ቀጣይነት ያለው ከሆነ፣ $f$ በዚያ ክፍተት ላይ ፍጹም ከፍተኛ እና ፍጹም ዝቅተኛ እሴቶችን ማግኘት አለበት።

ምክንያት: አንድ ተግባር በአንድ ነጥብ ላይ ቀጣይነት ያለው መሆኑ በዚያ ነጥብ ላይ ሊለይ የሚችል (differentiable) መሆኑን አያመለክትም። ለምሳሌ፣ $f(x) = |x|$ ተግባር በ $x=0$ ላይ ቀጣይነት ያለው ቢሆንም፣ በዚያ ነጥብ ላይ ሊለይ የሚችል አይደለም (ሹል ጥግ አለው)።

ምክንያት: $v(p) = \frac{p+2}{p-2}$ በሚለው ተግባር ውስጥ፣ $p=2$ ሲሆን መለያው ዜሮ ይሆናል፣ ነገር ግን አሃዛዊው $2+2=4$ ዜሮ አይደለም። ይህ የሚያመለክተው በ $p=2$ ላይ ቀጥ ያለ አሲምፕቶት (vertical asymptote) እንዳለ ነው። ቀጥ ያለ አሲምፕቶት ሊወገድ የማይችል (non-removable) መቋረጥ ነው።