यदि x ∈ (0, 1/4), तो tan⁻¹(√x(1+9x³)/(1-9x√x)) के बराबर है, g(x) का

हमें $\tan^{-1}\left(\frac{6\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$ का अवकलज ज्ञात करना है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए, यह संभावना है कि प्रश्न में एक मुद्रण त्रुटि है। यदि अभिव्यक्ति वास्तव में $\tan^{-1}\left(\frac{6x^{3/2}}{1-9x^3}\right)$ होती, तो यह एक मानक त्रिकोणमितीय प्रतिलोम सूत्र के अनुरूप होती और दिए गए विकल्पों में से एक के साथ एक सुसंगत समाधान की ओर ले जाती। हम इस धारणा के साथ आगे बढ़ेंगे कि प्रश्न में $6\sqrt{x}$ के बजाय $6x^{3/2}$ होना चाहिए था।

हम जानते हैं कि $2\tan^{-1}(t) = \tan^{-1}\left(\frac{2t}{1-t^2}\right)$।
यदि हम $t = 3x^{3/2}$ मानते हैं, तो:

• $2t = 2(3x^{3/2}) = 6x^{3/2}$
• $t^2 = (3x^{3/2})^2 = 9x^3$ तो, हम दी गई अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं (संभावित त्रुटि को मानते हुए):

दिया गया डोमेन $x \in (0, 1/4)$ के लिए, $t = 3x^{3/2} \in (0, 3/8)$ है, जो $|t|<1$ की शर्त को संतुष्ट करता है, इसलिए यह सूत्र मान्य है।

अब हम $y = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे। श्रृंखला नियम (chain rule) का प्रयोग करें: $\frac{d}{dx} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$।
यहाँ $u = 3x^{3/2}$।
पहले $u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:

अब $\frac{dy}{dx}$ की गणना करें:

प्रश्न में दिया गया है कि अवकलज $\sqrt{x} g(x)$ के बराबर है।

दोनों पक्षों को $\sqrt{x}$ से भाग देने पर:

यह हल विकल्प (2) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(2) } \frac{9}{1+9x^3}$.