We read your photo as:

Justifier que le mobile M₁ effectue un mouvement circulaire uniforme.

Physics

ScanSolve AI Answer

Answer

Pour justifier que le mobile M₁ effectue un mouvement circulaire uniforme, nous devons démontrer deux choses : que sa trajectoire est un cercle et que sa vitesse est constante.

Step-by-step solution

3 steps

  1. Déterminer la nature de la trajectoire.

    Les équations horaires du mobile M₁ sont données par :

    {x=−1+2cos⁡(πt)y=2sin⁡(πt)\begin{cases} x = -1 + 2 \cos(\pi t) \\ y = 2 \sin(\pi t) \end{cases}

    Réécrivons ces équations pour isoler les termes trigonométriques :

    {x+1=2cos⁡(πt)y=2sin⁡(πt)\begin{cases} x + 1 = 2 \cos(\pi t) \\ y = 2 \sin(\pi t) \end{cases}

    Élevons au carré chaque équation et additionnons-les :

    (x+1)2=(2cos⁡(πt))2=4cos⁡2(πt)(x + 1)^2 = (2 \cos(\pi t))^2 = 4 \cos^2(\pi t) y2=(2sin⁡(πt))2=4sin⁡2(πt)y^2 = (2 \sin(\pi t))^2 = 4 \sin^2(\pi t)

    En additionnant les deux équations :

    (x+1)2+y2=4cos⁡2(πt)+4sin⁡2(πt)(x + 1)^2 + y^2 = 4 \cos^2(\pi t) + 4 \sin^2(\pi t) (x+1)2+y2=4(cos⁡2(πt)+sin⁡2(πt))(x + 1)^2 + y^2 = 4 (\cos^2(\pi t) + \sin^2(\pi t))

    Puisque cos⁡2(θ)+sin⁡2(θ)=1\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1, nous obtenons :

    (x+1)2+y2=4(x + 1)^2 + y^2 = 4

    Cette équation est celle d'un cercle de centre C(−1,0)C(-1, 0) et de rayon R=4=2R = \sqrt{4} = 2 m. La trajectoire du mobile M₁ est donc circulaire.

  2. Déterminer la vitesse du mobile.

    Le vecteur vitesse v⃗\vec{v} est la dérivée du vecteur position OM⃗\vec{OM} par rapport au temps tt.
    Les composantes du vecteur vitesse sont :

    vx=dxdt=ddt(−1+2cos⁡(πt))=−2πsin⁡(πt)v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-1 + 2 \cos(\pi t)) = -2 \pi \sin(\pi t) vy=dydt=ddt(2sin⁡(πt))=2πcos⁡(πt)v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2 \sin(\pi t)) = 2 \pi \cos(\pi t)

    La norme de la vitesse (la vitesse scalaire) est donnée par :

    v=vx2+vy2v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} v=(−2πsin⁡(πt))2+(2πcos⁡(πt))2v = \sqrt{(-2 \pi \sin(\pi t))^2 + (2 \pi \cos(\pi t))^2} v=4π2sin⁡2(πt)+4π2cos⁡2(πt)v = \sqrt{4 \pi^2 \sin^2(\pi t) + 4 \pi^2 \cos^2(\pi t)} v=4π2(sin⁡2(πt)+cos⁡2(πt))v = \sqrt{4 \pi^2 (\sin^2(\pi t) + \cos^2(\pi t))} v=4π2×1v = \sqrt{4 \pi^2 \times 1} v=2π m/sv = 2 \pi \text{ m/s}

    La vitesse v=2πv = 2 \pi m/s est une constante.

  3. Conclusion.

    Puisque la trajectoire du mobile M₁ est un cercle et que sa vitesse est constante, nous pouvons conclure que le mobile M₁ effectue un mouvement circulaire uniforme.

Was this helpful?

Still stuck on this one?

Ask a follow-up, and the answer starts from this question.

Got a different question?Ask your own question
Got a syllabus? Photograph it and I'll tell you what's due and what's worth the most.