ADVANCED LEVEL MATHEMATICS QUADRATIC EQUATIONS ADVANCED PRACTICE QUESTIONS Name: ___________________________________ Class: _________________________________ Date: _____________________________________ --- SECTION A: ADVANCED QUADRATIC EQUATIONS Solve: [ 3x2−7x−6=0 Solve exactly: [ 5x2+4x−3=0 Solve simultaneously: [ x2+y2=25 y=x2−5  Given that x=2 is a root of [ x2+kx−12=0, find k and the other root. Find the values of k for which [ x2−(k+2)x+2k=0 has two equal roots. Find the range of values of k for which [ 2x2+(k−3)x+k=0 has two distinct real roots. --- SECTION B: ROOTS AND QUADRATIC RELATIONSHIPS If the roots of [ 2x2−5x+3=0 are alpha and beta, find: [ alpha2+beta2. If alpha,beta are roots of [ x2−6x+2=0, find: [ 1alpha+1beta [ 1alpha2+1beta2. Solve: [ (2)/(x-1)+(3)/(x+2)=2. Solve: [ x+1x=5, x0. --- SECTION C: VERY CHALLENGING QUESTIONS Solve: [ x4−5x2+4=0. Solve: [ x4−3x2−4=0. Find the values of k such that [ x2−2(k+1)x+k2+3=0 has no real roots. The equation [ x2−(m+3)x+2m=0 has roots alpha and beta. Find m if [ alpha2+beta2=13. Solve simultaneously: [ x2+y2=13 xy=6.  --- INSTRUCTIONS Show all working clearly. Give exact answers where appropriate. Check your solutions by substitution. Use the quadratic formula where necessary: [ x=-b(b2-4ac)2a ] END OF QUESTIONS

Ici, $a=3$, $b=-7$, $c=-6$.

Les solutions sont $x=3$ et $x=-\frac{2}{3}$.

2. Solve exactly: $5x^2+4x-3=0$

Ici, $a=5$, $b=4$, $c=-3$.

$\sqrt{76} = \sqrt{4 \times 19} = 2\sqrt{19}$.

Les solutions exactes sont $x=\frac{-2+\sqrt{19}}{5}$ et $x=\frac{-2-\sqrt{19}}{5}$.

3. Solve simultaneously:
$x^2+y^2=25$
$y=x^2-5$

Puisque $y=x^2-5$, on peut remplacer $x^2$ par $y+5$ dans la première équation.
$(y+5)+y^2=25$
$y^2+y+5-25=0$
$y^2+y-20=0$

On peut factoriser l'équation $y^2+y-20=0$ en $(y+5)(y-4)=0$.
Donc, $y+5=0$ ou $y-4=0$.
$y_1=-5$ ou $y_2=4$.

Pour $y_1=-5$:
$-5=x^2-5$
$x^2=0$
$x=0$.
Donc, une solution est $(0 ; -5)$.

Pour $y_2=4$:
$4=x^2-5$
$x^2=9$
$x=\pm\sqrt{9}$
$x=\pm3$.
Donc, deux autres solutions sont $(3 ; 4)$ et $(-3 ; 4)$.

Les solutions du système sont $(0 ; -5)$, $(3 ; 4)$ et $(-3 ; 4)$.

4. Given that $x=2$ is a root of $x^2+kx-12=0$, find $k$ and the other root.

Si $x=2$ est une racine, alors l'équation est satisfaite lorsque $x=2$.
$(2)^2+k(2)-12=0$
$4+2k-12=0$
$2k-8=0$
$2k=8$
$k=4$.

L'équation devient $x^2+4x-12=0$.

On peut factoriser l'équation: $(x+6)(x-2)=0$.
Les racines sont $x=-6$ et $x=2$.
Puisque $x=2$ est déjà donnée, l'autre racine est $x=-6$.

La valeur de $k$ est 4 et l'autre racine est $-6$.

5. Find the values of $k$ for which $x^2-(k+2)x+2k=0$ has two equal roots.

Ici, $a=1$, $b=-(k+2)$, $c=2k$.

L'équation $k^2-4k+4=0$ est un carré parfait: $(k-2)^2=0$.
Donc, $k-2=0$.
$k=2$.

La valeur de $k$ pour laquelle l'équation a deux racines égales est 2.

6. Find the range of values of $k$ for which $2x^2+(k-3)x+k=0$ has two distinct real roots.

Ici, $a=2$, $b=(k-3)$, $c=k$.

Utilisons la formule quadratique pour $k$:

Puisque le coefficient de $k^2$ est positif (1), la parabole s'ouvre vers le haut. L'inégalité est satisfaite lorsque $k$ est inférieur à la plus petite racine ou supérieur à la plus grande racine.
Les racines sont $7-2\sqrt{10}$ et $7+2\sqrt{10}$.

L'intervalle des valeurs de $k$ est $k < 7-2\sqrt{10}$ ou $k > 7+2\sqrt{10}$.

7. If the roots of $2x^2-5x+3=0$ are $\alpha$ and $\beta$, find $\alpha^2+\beta^2$.

Ici, $a=2$, $b=-5$, $c=3$.

La somme des racines est $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$.
Le produit des racines est $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$.

La valeur de $\alpha^2+\beta^2$ est $\frac{13}{4}$.

8. If $\alpha,\beta$ are roots of $x^2-6x+2=0$, find:

(a) $\frac1\alpha+\frac1\beta$

(b) $\frac1{\alpha^2}+\frac1{\beta^2}$

Ici, $a=1$, $b=-6$, $c=2$.

La somme des racines est $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6$.
Le produit des racines est $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$.

(a) Trouver $\frac1\alpha+\frac1\beta$

(b) Trouver $\frac1{\alpha^2}+\frac1{\beta^2}$

9. Solve: $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=2$.

Le dénominateur ne peut pas être zéro, donc $x \ne 1$ et $x \ne -2$.

On peut factoriser l'équation: $(2x-5)(x+1)=0$.
Donc, $2x-5=0$ ou $x+1=0$.
$x_1=\frac{5}{2}$ ou $x_2=-1$.

Ces solutions ne violent pas les restrictions $x \ne 1$ et $x \ne -2$.

10. Solve: $x+\frac1x=5,\qquad x\ne0$.

Ici, $a=1$, $b=-5$, $c=1$.

Les solutions sont $x=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ et $x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.

11. Solve: $x^4-5x^2+4=0$.

Soit $u=x^2$. Alors $u^2=(x^2)^2=x^4$.
L'équation devient $u^2-5u+4=0$.

On peut factoriser l'équation: $(u-1)(u-4)=0$.
Donc, $u-1=0$ ou $u-4=0$.
$u_1=1$ ou $u_2=4$.

Pour $u_1=1$:
$x^2=1$
$x=\pm\sqrt{1}$
$x=\pm1$.

Pour $u_2=4$:
$x^2=4$
$x=\pm\sqrt{4}$
$x=\pm2$.

Les solutions sont $x=1$, $x=-1$, $x=2$, $x=-2$.

12. Solve: $x^4-3x^2-4=0$.

Soit $u=x^2$. Alors $u^2=(x^2)^2=x^4$.
L'équation devient $u^2-3u-4=0$.

On peut factoriser l'équation: $(u-4)(u+1)=0$.
Donc, $u-4=0$ ou $u+1=0$.
$u_1=4$ ou $u_2=-1$.

Pour $u_1=4$:
$x^2=4$
$x=\pm\sqrt{4}$
$x=\pm2$.

Pour $u_2=-1$:
$x^2=-1$
$x=\pm\sqrt{-1}$
$x=\pm i$. (où $i$ est l'unité imaginaire)

Les solutions sont $x=2$, $x=-2$, $x=i$, $x=-i$.

13. Find the values of $k$ such that $x^2-2(k+1)x+k^2+3=0$ has no real roots.

Ici, $a=1$, $b=-2(k+1)$, $c=k^2+3$.

Les valeurs de $k$ pour lesquelles l'équation n'a pas de racines réelles sont $k < 1$.

14. The equation $x^2-(m+3)x+2m=0$ has roots $\alpha$ and $\beta$. Find $m$ if $\alpha^2+\beta^2=13$.

Ici, $a=1$, $b=-(m+3)$, $c=2m$.

La somme des racines est $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = - \frac{-(m+3)}{1} = m+3$.
Le produit des racines est $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{2m}{1} = 2m$.

On sait que $\alpha^2+\beta^2=13$.

Ici, $a=1$, $b=2$, $c=-4$.

Les valeurs de $m$ sont $-1+\sqrt{5}$ et $-1-\sqrt{5}$.

15. Solve simultaneously:
$x^2+y^2=13$
$xy=6$

$y=\frac{6}{x}$. (Notez que $x \ne 0$ et $y \ne 0$).

Soit $u=x^2$.
L'équation devient $u^2-13u+36=0$.

On peut factoriser l'équation: $(u-4)(u-9)=0$.
Donc, $u-4=0$ ou $u-9=0$.
$u_1=4$ ou $u_2=9$.

Pour $u_1=4$:
$x^2=4$
$x=\pm2$.
Si $x=2$, alors $y=\frac{6}{2}=3$. Solution: $(2 ; 3)$.
Si $x=-2$, alors $y=\frac{6}{-2}=-3$. Solution: $(-2 ; -3)$.

Pour $u_2=9$:
$x^2=9$
$x=\pm3$.
Si $x=3$, alors $y=\frac{6}{3}=2$. Solution: $(3 ; 2)$.
Si $x=-3$, alors $y=\frac{6}{-3}=-2$. Solution: $(-3 ; -2)$.

Les solutions du système sont $(2 ; 3)$, $(-2 ; -3)$, $(3 ; 2)$ et $(-3 ; -2)$.