This biology question covers important biological concepts and processes. The step-by-step explanation below helps you understand the underlying mechanisms and reasoning.
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1. Solve: 3x^2-7x-6=0 Step 1: Identifier les coefficients de l'équation quadratique ax^2+bx+c=0. Ici, a=3, b=-7, c=-6. Step 2: Appliquer la formule quadratique x=-b±sqrt(b^2-4ac)2a. x = -(-7)±sqrt((-7)^2-4(3)(-6))2(3) x = 7±sqrt(49+72)6 x = 7±sqrt(121)6 x = (7±11)/(6) Step 3: Calculer les deux solutions possibles. x_1 = (7+11)/(6) = (18)/(6) = 3 x_2 = (7-11)/(6) = (-4)/(6) = -(2)/(3) Les solutions sont x=3 et x=-(2)/(3). x=3 ou x=-(2)/(3) 2. Solve exactly: 5x^2+4x-3=0 Step 1: Identifier les coefficients de l'équation quadratique ax^2+bx+c=0. Ici, a=5, b=4, c=-3. Step 2: Appliquer la formule quadratique x=-b±sqrt(b^2-4ac)2a. x = -4±sqrt(4^2-4(5)(-3))2(5) x = -4±sqrt(16+60)10 x = -4±sqrt(76)10 Step 3: Simplifier la racine carrée et les solutions. sqrt(76) = sqrt(4 × 19) = 2sqrt(19). x = -4±2sqrt(19)10 x = 2(-2±sqrt(19))10 x = -2±sqrt(19)5 Les solutions exactes sont x=-2+sqrt(19)5 et x=-2-sqrt(19)5. x=-2±sqrt(19)5 3. Solve simultaneously: x^2+y^2=25 y=x^2-5 Step 1: Substituer la deuxième équation dans la première. Puisque y=x^2-5, on peut remplacer x^2 par y+5 dans la première équation. (y+5)+y^2=25 y^2+y+5-25=0 y^2+y-20=0 Step 2: Résoudre l'équation quadratique pour y. On peut factoriser l'équation y^2+y-20=0 en (y+5)(y-4)=0. Donc, y+5=0 ou y-4=0. y_1=-5 ou y_2=4. Step 3: Substituer les valeurs de y dans y=x^2-5 pour trouver les valeurs de x. Pour y_1=-5: -5=x^2-5 x^2=0 x=0. Donc, une solution est (0 ; -5). Pour y_2=4: 4=x^2-5 x^2=9 x=±sqrt(9) x=±3. Donc, deux autres solutions sont (3 ; 4) et (-3 ; 4). Les solutions du système sont (0 ; -5), (3 ; 4) et (-3 ; 4). (0 ; -5), (3 ; 4), (-3 ; 4) 4. Given that x=2 is a root of x^2+kx-12=0, find k and the other root. Step 1: Substituer x=2 dans l'équation pour trouver k. Si x=2 est une racine, alors l'équation est satisfaite lorsque x=2. (2)^2+k(2)-12=0 4+2k-12=0 2k-8=0 2k=8 k=4. Step 2: Substituer la valeur de k dans l'équation pour trouver l'équation complète. L'équation devient x^2+4x-12=0. Step 3: Résoudre l'équation pour trouver l'autre racine. On peut factoriser l'équation: (x+6)(x-2)=0. Les racines sont x=-6 et x=2. Puisque x=2 est déjà donnée, l'autre racine est x=-6. La valeur de k est 4 et l'autre racine est -6. k=4, l'autre racine est -6 5. Find the values of k for which x^2-(k+2)x+2k=0 has two equal roots. Step 1: Identifier les coefficients de l'équation quadratique ax^2+bx+c=0. Ici, a=1, b=-(k+2), c=2k. Step 2: Pour que l'équation ait deux racines égales, le discriminant =b^2-4ac doit être égal à zéro. (-(k+2))^2 - 4(1)(2k) = 0 (k+2)^2 - 8k = 0 k^2+4k+4 - 8k = 0 k^2-4k+4 = 0 Step 3: Résoudre l'équation quadratique pour k. L'équation k^2-4k+4=0 est un carré parfait: (k-2)^2=0. Donc, k-2=0. k=2. La valeur de k pour laquelle l'équation a deux racines égales est 2. k=2 6. Find the range of values of k for which 2x^2+(k-3)x+k=0 has two distinct real roots. Step 1: Identifier les coefficients de l'équation quadratique ax^2+bx+c=0. Ici, a=2, b=(k-3), c=k. Step 2: Pour que l'équation ait deux racines réelles distinctes, le discriminant =b^2-4ac doit être strictement supérieur à zéro. (k-3)^2 - 4(2)(k) > 0 k^2-6k+9 - 8k > 0 k^2-14k+9 > 0 Step 3: Trouver les racines de l'équation quadratique k^2-14k+9=0 pour déterminer les intervalles. Utilisons la formule quadratique pour k: k = -(-14)±sqrt((-14)^2-4(1)(9))2(1) k = 14±sqrt(196-36)2 k = 14±sqrt(160)2 k = 14±sqrt(16 × 10)2 k = 14±4sqrt(10)2 k = 7±2sqrt(10) Step 4: Déterminer l'intervalle pour lequel k^2-14k+9 > 0. Puisque le coefficient de k^2 est positif (1), la parabole s'ouvre vers le haut. L'inégalité est satisfaite lorsque k est inférieur à la plus petite racine ou supérieur à la plus grande racine. Les racines sont 7-2sqrt(10) et 7+2sqrt(10). L'intervalle des valeurs de k est k < 7-2sqrt(10) ou k > 7+2sqrt(10). k (- ; 7-2sqrt(10)) (7+2sqrt(10) ; +) 7. If the roots of 2x^2-5x+3=0 are and , find ^2+^2. Step 1: Identifier les coefficients de l'équation quadratique ax^2+bx+c=0. Ici, a=2, b=-5, c=3. Step 2: Calculer la somme et le produit des racines. La somme des racines est + = -(b)/(a) = -(-5)/(2) = (5)/(2). Le produit des racines est = (c)/(a) = (3)/(2). Step 3: Utiliser l'identité ^2+^2 = (+)^2 - 2. ^2+^2 = ((5)/(2))^2 - 2((3)/(2)) ^2+^2 = (25)/(4) - 3 ^2+^2 = (25)/(4) - (12)/(4) ^2+^2 = (13)/(4) La valeur de ^2+^2 est (13)/(4). (13)/(4) 8. If , are roots of x^2-6x+2=0, find: (a) 1+1 (b) 1^2+1^2 Step 1: Identifier les coefficients de l'équation quadratique ax^2+bx+c=0. Ici, a=1, b=-6, c=2. Step 2: Calculer la somme et le produit des racines. La somme des racines est + = -(b)/(a) = -(-6)/(1) = 6. Le produit des racines est = (c)/(a) = (2)/(1) = 2. (a) Trouver 1+1 Step 3: Simplifier l'expression et substituer les valeurs de la somme et du produit. 1+1 = (+)/() = (+)/() 1+1 = (6)/(2) = 3 1+1 = 3 (b) Trouver 1^2+1^2 Step 4: Simplifier l'expression. 1^2+1^2 = (^2+^2)/(()^2) = (^2+^2)/(()^2) Step 5: Calculer ^2+^2 en utilisant l'identité (+)^2 - 2. ^2+^2 = (6)^2 - 2(2) = 36 - 4 = 32 Step 6: Substituer les valeurs dans l'expression simplifiée. 1^2+1^2 = (32)/((2)^2) = (32)/(4) = 8 1^2+1^2 = 8 9. Solve: (2)/(x-1)+(3)/(x+2)=2. Step 1: Définir les restrictions sur x. Le dénominateur ne peut pas être zéro, donc x 1 et x -2. Step 2: Combiner les fractions du côté gauche. (2(x+2)+3(x-1))/((x-1)(x+2)) = 2 (2x+4+3x-3)/(x^2+2x-x-2) = 2 (5x+1)/(x^2+x-2) = 2 Step 3: Multiplier les deux côtés par le dénominateur pour éliminer les fractions. 5x+1 = 2(x^2+x-2) 5x+1 = 2x^2+2x-4 Step 4: Réorganiser l'équation en une forme quadratique standard ax^2+bx+c=0. 0 = 2x^2+2x-5x-4-1 2x^2-3x-5=0 Step 5: Résoudre l'équation quadratique. On peut factoriser l'équation: (2x-5)(x+1)=0. Donc, 2x-5=0 ou x+1=0. x_1=(5)/(2) ou x_2=-1. Ces solutions ne violent pas les restrictions x 1 et x -2. x=(5)/(2) ou x=-1 10. Solve: x+1x=5, x0. Step 1: Multiplier toute l'équation par x pour éliminer la fraction. x(x) + x(1x) = 5x x^2+1 = 5x Step 2: Réorganiser l'équation en une forme quadratique standard ax^2+bx+c=0. x^2-5x+1=0 Step 3: Résoudre l'équation quadratique en utilisant la formule quadratique. Ici, a=1, b=-5, c=1. x = -(-5)±sqrt((-5)^2-4(1)(1))2(1) x = 5±sqrt(25-4)2 x = 5±sqrt(21)2 Les solutions sont x=5+sqrt(21)2 et x=5-sqrt(21)2. x=5±sqrt(21)2 11. Solve: x^4-5x^2+4=0. Step 1: Effectuer une substitution pour transformer l'équation en une forme quadratique. Soit u=x^2. Alors u^2=(x^2)^2=x^4. L'équation devient u^2-5u+4=0. Step 2: Résoudre l'équation quadratique pour u. On peut factoriser l'équation: (u-1)(u-4)=0. Donc, u-1=0 ou u-4=0. u_1=1 ou u_2=4. Step 3: Substituer x^2 de nouveau pour u et résoudre pour x. Pour u_1=1: x^2=1 x=±sqrt(1) x=±1. Pour u_2=4: x^2=4 x=±sqrt(4) x=±2. Les solutions sont x=1, x=-1, x=2, x=-2. x=±1, ±2 12. Solve: x^4-3x^2-4=0. Step 1: Effectuer une substitution pour transformer l'équation en une forme quadratique. Soit u=x^2. Alors u^2=(x^2)^2=x^4. L'équation devient u^2-3u-4=0. Step 2: Résoudre l'équation quadratique pour u. On peut factoriser l'équation: (u-4)(u+1)=0. Donc, u-4=0 ou u+1=0. u_1=4 ou u_2=-1. Step 3: Substituer x^2 de nouveau pour u et résoudre pour x. Pour u_1=4: x^2=4 x=±sqrt(4) x=±2. Pour u_2=-1: x^2=-1 x=±sqrt(-1) x=± i. (où i est l'unité imaginaire) Les solutions sont x=2, x=-2, x=i, x=-i. x=±2, ± i 13. Find the values of k such that x^2-2(k+1)x+k^2+3=0 has no real roots. Step 1: Identifier les coefficients de l'équation quadratique ax^2+bx+c=0. Ici, a=1, b=-2(k+1), c=k^2+3. Step 2: Pour que l'équation n'ait pas de racines réelles, le discriminant =b^2-4ac doit être strictement inférieur à zéro. (-2(k+1))^2 - 4(1)(k^2+3) < 0 4(k+1)^2 - 4(k^2+3) < 0 Step 3: Développer et simplifier l'inégalité. 4(k^2+2k+1) - 4k^2-12 < 0 4k^2+8k+4 - 4k^2-12 < 0 8k-8 < 0 Step 4: Résoudre l'inégalité pour k. 8k < 8 k < 1 Les valeurs de k pour lesquelles l'équation n'a pas de racines réelles sont k < 1. k < 1 14. The equation x^2-(m+3)x+2m=0 has roots and . Find m if ^2+^2=13. Step 1: Identifier les coefficients de l'équation quadratique ax^2+bx+c=0. Ici, a=1, b=-(m+3), c=2m. Step 2: Calculer la somme et le produit des racines en fonction de m. La somme des racines est + = -(b)/(a) = - (-(m+3))/(1) = m+3. Le produit des racines est = (c)/(a) = (2m)/(1) = 2m. Step 3: Utiliser l'identité ^2+^2 = (+)^2 - 2 et substituer la valeur donnée. On sait que ^2+^2=13. 13 = (m+3)^2 - 2(2m) 13 = m^2+6m+9 - 4m 13 = m^2+2m+9 Step 4: Réorganiser l'équation en une forme quadratique standard pour m. 0 = m^2+2m+9-13 m^2+2m-4=0 Step 5: Résoudre l'équation quadratique pour m en utilisant la formule quadratique. Ici, a=1, b=2, c=-4. m = -2±sqrt(2^2-4(1)(-4))2(1) m = -2±sqrt(4+16)2 m = -2±sqrt(20)2 m = -2±2sqrt(5)2 m = -1±sqrt(5) Les valeurs de m sont -1+sqrt(5) et -1-sqrt(5). m=-1±sqrt(5) 15. Solve simultaneously: x^2+y^2=13 xy=6 Step 1: Exprimer y en fonction de x à partir de la deuxième équation. y=(6)/(x). (Notez que x 0 et y 0). Step 2: Substituer cette expression de y dans la première équation. x^2+((6)/(x))^2=13 x^2+(36)/(x^2)=13 Step 3: Multiplier toute l'équation par x^2 pour éliminer la fraction. x^2(x^2)+x^2((36)/(x^2))=13x^2 x^4+36=13x^2 Step 4: Réorganiser l'équation en une forme quadratique en x^2. x^4-13x^2+36=0 Step 5: Effectuer une substitution. Soit u=x^2. L'équation devient u^2-13u+36=0. Step 6: Résoudre l'équation quadratique pour u. On peut factoriser l'équation: (u-4)(u-9)=0. Donc, u-4=0 ou u-9=0. u_1=4 ou u_2=9. Step 7: Substituer x^2 de nouveau pour u et résoudre pour x. Pour u_1=4: x^2=4 x=±2. Si x=2, alors y=(6)/(2)=3. Solution: (2 ; 3). Si x=-2, alors y=(6)/(-2)=-3. Solution: (-2 ; -3). Pour u_2=9: x^2=9 x=±3. Si x=3, alors y=(6)/(3)=2. Solution: (3 ; 2). Si x=-3, alors y=(6)/(-3)=-2. Solution: (-3 ; -2). Les solutions du système sont (2 ; 3), (-2 ; -3), (3 ; 2) et (-3 ; -2). (2 ; 3), (-2 ; -3), (3 ; 2), (-3 ; -2) Drop the next question. 📸