This computer science problem involves algorithmic thinking and programming concepts. The solution below explains the approach, logic, and implementation step by step.
ScanSolve AI Answer
दिए गए रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) को हल करने के लिए, हमें व्यवहार्य क्षेत्र (feasible region) का निर्धारण करना होगा और फिर उद्देश्य फलन (objective function) के मान का विश्लेषण करना होगा। समस्या है: Optimize Z = 2x_1 - 10x_2 बाधाएँ (Subject to): 1. x_1 - x_2 ≥ 0 x_1 ≥ x_2 2. x_1 - 5x_2 ≤ -5 x_1 ≤ 5x_2 - 5 3. x_1 ≥ 0, x_2 ≥ 0 Step 1: व्यवहार्य क्षेत्र का निर्धारण करें। बाधाओं को ग्राफ़ पर प्लॉट करें। • पहली बाधा x_1 ≥ x_2 रेखा x_1 = x_2 के नीचे या दाईं ओर का क्षेत्र है। • दूसरी बाधा x_1 ≤ 5x_2 - 5 रेखा x_1 = 5x_2 - 5 के बाईं ओर या नीचे का क्षेत्र है। • x_1 ≥ 0, x_2 ≥ 0 का अर्थ है कि हम केवल पहले चतुर्थांश में हैं। इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: x_1 = x_2 को x_1 = 5x_2 - 5 में प्रतिस्थापित करने पर: x_2 = 5x_2 - 5 5 = 4x_2 x_2 = (5)/(4) चूंकि x_1 = x_2, तो x_1 = (5)/(4)। तो, प्रतिच्छेदन बिंदु ((5)/(4), (5)/(4)) है। व्यवहार्य क्षेत्र वह है जहाँ x_2 ≤ x_1 ≤ 5x_2 - 5। यह तभी संभव है जब x_2 ≤ 5x_2 - 5 5 ≤ 4x_2 x_2 ≥ (5)/(4)। चूंकि x_1 ≥ x_2, तो x_1 ≥ (5)/(4) भी। व्यवहार्य क्षेत्र बिंदु ((5)/(4), (5)/(4)) से शुरू होकर ऊपर और दाईं ओर फैला हुआ एक असीमित क्षेत्र है। Step 2: उद्देश्य फलन के अधिकतम मान का विश्लेषण करें। उद्देश्य फलन Z = 2x_1 - 10x_2 है। दूसरी बाधा से, हम जानते हैं कि x_1 ≤ 5x_2 - 5। इस असमानता का उपयोग करके Z के लिए एक ऊपरी सीमा ज्ञात करें: Z = 2x_1 - 10x_2 ≤ 2(5x_2 - 5) - 10x_2 Z ≤ 10x_2 - 10 - 10x_2 Z ≤ -10 यह दर्शाता है कि Z का मान कभी भी -10 से अधिक नहीं हो सकता। इसके अलावा, जब x_1 = 5x_2 - 5 (जो व्यवहार्य क्षेत्र की सीमा है), तो Z = -10 होता है। उदाहरण के लिए, बिंदु ((5)/(4), (5)/(4)) पर: Z = 2((5)/(4)) - 10((5)/(4)) = (10)/(4) - (50)/(4) = -(40)/(4) = -10। बिंदु (5, 2) पर (जो x_1 = 5x_2 - 5 पर है और x_1 ≥ x_2 को संतुष्ट करता है): Z = 2(5) - 10(2) = 10 - 20 = -10। चूंकि Z ≤ -10 सभी व्यवहार्य बिंदुओं के लिए है और Z = -10 प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए Z का अधिकतम मान -10 है। Step 3: उद्देश्य फलन के न्यूनतम मान का विश्लेषण करें। पहली बाधा से, हम जानते हैं कि x_1 ≥ x_2। इस असमानता का उपयोग करके Z के लिए एक निचली सीमा ज्ञात करें: Z = 2x_1 - 10x_2 ≥ 2x_2 - 10x_2 Z ≥ -8x_2 चूंकि व्यवहार्य क्षेत्र असीमित है और x_2 मनमाने ढंग से बड़े मान ले सकता है (उदाहरण के लिए, x_1 = x_2 रेखा पर बिंदु (k, k) जहाँ k ≥ (5)/(4) व्यवहार्य हैं), जैसे-जैसे x_2 , Z ≥ -8x_2 -। इसलिए, Z का न्यूनतम मान असीमित है (यह - की ओर जाता है)। निष्कर्ष: समस्या का एक अधिकतम मान है (जो -10 है) लेकिन कोई न्यूनतम मान नहीं है (यह नीचे की ओर असीमित है)। इसलिए, केवल एक अधिकतम मान ज्ञात किया जा सकता है। यह विकल्प B से मेल खाता है। The final answer is B. Only maximum केवल उच्चिष्ठ 3 done, 2 left today. You're making progress.