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Voici la résolution des problèmes de probabilité. Question 1: Soient les probabilités suivantes : P(B) = (2)/(5), P(A) = (1)/(2) et P(A|B) = (1)/(4). a) Calculer P(A B) Step 1: Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle. La probabilité conditionnelle P(A|B) est définie par la formule : P(A|B) = (P(A B))/(P(B)) Step 2: Isoler P(A B) et substituer les valeurs données. On en déduit que P(A B) = P(A|B) × P(B). P(A B) = (1)/(4) × (2)/(5) P(A B) = (2)/(20) P(A B) = (1)/(10) La probabilité de l'intersection de A et B est (1)/(10). b) Calculer P(A B) Step 1: Utiliser la formule de l'union de deux événements. La probabilité de l'union de deux événements A et B est donnée par : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Step 2: Substituer les valeurs connues. On utilise P(A) = (1)/(2), P(B) = (2)/(5) et P(A B) = (1)/(10) (calculé en 1a). P(A B) = (1)/(2) + (2)/(5) - (1)/(10) Step 3: Mettre les fractions au même dénominateur (10) et calculer. P(A B) = (5)/(10) + (4)/(10) - (1)/(10) P(A B) = (5 + 4 - 1)/(10) P(A B) = (8)/(10) P(A B) = (4)/(5) La probabilité de l'union de A et B est (4)/(5). c) Calculer P(A|B') Step 1: Calculer la probabilité de l'événement complémentaire B'. P(B') = 1 - P(B) P(B') = 1 - (2)/(5) P(B') = (3)/(5) Step 2: Calculer la probabilité de l'intersection P(A B'). On sait que P(A) = P(A B) + P(A B'). Donc, P(A B') = P(A) - P(A B). P(A B') = (1)/(2) - (1)/(10) P(A B') = (5)/(10) - (1)/(10) P(A B') = (4)/(10) P(A B') = (2)/(5) Step 3: Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle pour P(A|B'). P(A|B') = (P(A B'))/(P(B')) P(A|B') = (2/5)/(3/5) P(A|B') = (2)/(5) × (5)/(3) P(A|B') = (2)/(3) La probabilité conditionnelle de A sachant B' est (2)/(3). Question 2: Un magasin d'aliments pour animaux a en stock des aliments pour porcs et pour volailles. • 30% du stock est de l'aliment pour porcs (P(Porc) = 0,3). • 70% du stock est de l'aliment pour volailles (P(Volaille) = 0,7). • 5% de l'aliment pour porcs est périmé (P(Périmé|Porc) = 0,05). • 2% de l'aliment pour volailles est périmé (P(Périmé|Volaille) = 0,02). a) Dessiner un diagramme en arbre pour montrer tous les résultats possibles et leurs probabilités. Soit P l'événement "l'aliment est pour porcs", V l'événement "l'aliment est pour volailles", et E l'événement "l'aliment est périmé". E' est l'événement "l'aliment n'est pas périmé". Step 1: Définir les probabilités initiales. P(P) = 0,3 P(V) = 0,7 Step 2: Définir les probabilités conditionnelles d'être périmé ou non. P(E|P) = 0,05 P(E'|P) = 1 - 0,05 = 0,95 P(E|V) = 0,02 P(E'|V) = 1 - 0,02 = 0,98 Step 3: Construire le diagramme en arbre (décrit ci-dessous). • Branche 1 : Aliment pour porcs (P) • Chemin 1.1 : Aliment pour porcs et périmé (P E) P(P E) = P(P) × P(E|P) = 0,3 × 0,05 = 0,015 • Chemin 1.2 : Aliment pour porcs et non périmé (P E') P(P E') = P(P) × P(E'|P) = 0,3 × 0,95 = 0,285 • Branche 2 : Aliment pour volailles (V) • Chemin 2.1 : Aliment pour volailles et périmé (V E) P(V E) = P(V) × P(E|V) = 0,7 × 0,02 = 0,014 • Chemin 2.2 : Aliment pour volailles et non périmé (V E') P(V E') = P(V) × P(E'|V) = 0,7 × 0,98 = 0,686 Le diagramme en arbre montre les chemins suivants avec leurs probabilités : • Porc → Périmé : 0,3 × 0,05 = 0,015 • Porc → Non périmé : 0,3 × 0,95 = 0,285 • Volaille → Périmé : 0,7 × 0,02 = 0,014 • Volaille → Non périmé : 0,7 × 0,98 = 0,686 b) Trouver la probabilité que le sac d'aliments soit périmé. Step 1: Utiliser la loi des probabilités totales. La probabilité qu'un sac d'aliments soit périmé est la somme des probabilités des chemins menant à un aliment périmé. P(E) = P(P E) + P(V E) Step 2: Substituer les valeurs calculées à partir du diagramme en arbre. P(E) = (P(P) × P(E|P)) + (P(V) × P(E|V)) P(E) = (0,3 × 0,05) + (0,7 × 0,02) P(E) = 0,015 + 0,014 P(E) = 0,029 La probabilité que le sac d'aliments soit périmé est 0,029. Envoie-moi la prochaine 📸