Solve in English

La probabilité conditionnelle $P(A|B)$ est définie par la formule :

On en déduit que $P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)$.

La probabilité de l'intersection de A et B est $\boxed{\frac{1}{10}}$.

b) Calculer $P(A \cup B)$

La probabilité de l'union de deux événements A et B est donnée par :

On utilise $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{2}{5}$ et $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$ (calculé en 1a).

La probabilité de l'union de A et B est $\boxed{\frac{4}{5}}$.

c) Calculer $P(A|B')$

On sait que $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')$.
Donc, $P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)$.

La probabilité conditionnelle de A sachant B' est $\boxed{\frac{2}{3}}$.

Question 2:
Un magasin d'aliments pour animaux a en stock des aliments pour porcs et pour volailles.

• 30% du stock est de l'aliment pour porcs ($P(Porc) = 0,3$).
• 70% du stock est de l'aliment pour volailles ($P(Volaille) = 0,7$).
• 5% de l'aliment pour porcs est périmé ($P(Périmé|Porc) = 0,05$).
• 2% de l'aliment pour volailles est périmé ($P(Périmé|Volaille) = 0,02$).

a) Dessiner un diagramme en arbre pour montrer tous les résultats possibles et leurs probabilités.

Soit $P$ l'événement "l'aliment est pour porcs", $V$ l'événement "l'aliment est pour volailles", et $E$ l'événement "l'aliment est périmé". $E'$ est l'événement "l'aliment n'est pas périmé".

$P(P) = 0,3$
$P(V) = 0,7$

$P(E|P) = 0,05 \implies P(E'|P) = 1 - 0,05 = 0,95$
$P(E|V) = 0,02 \implies P(E'|V) = 1 - 0,02 = 0,98$

• Branche 1 : Aliment pour porcs (P)

  • Chemin 1.1 : Aliment pour porcs et périmé ($P \cap E$) $P(P \cap E) = P(P) \times P(E|P) = 0,3 \times 0,05 = 0,015$
  • Chemin 1.2 : Aliment pour porcs et non périmé ($P \cap E'$) $P(P \cap E') = P(P) \times P(E'|P) = 0,3 \times 0,95 = 0,285$

• Branche 2 : Aliment pour volailles (V)

  • Chemin 2.1 : Aliment pour volailles et périmé ($V \cap E$) $P(V \cap E) = P(V) \times P(E|V) = 0,7 \times 0,02 = 0,014$
  • Chemin 2.2 : Aliment pour volailles et non périmé ($V \cap E'$) $P(V \cap E') = P(V) \times P(E'|V) = 0,7 \times 0,98 = 0,686$

Le diagramme en arbre montre les chemins suivants avec leurs probabilités :

• Porc $\rightarrow$ Périmé : $0,3 \times 0,05 = 0,015$
• Porc $\rightarrow$ Non périmé : $0,3 \times 0,95 = 0,285$
• Volaille $\rightarrow$ Périmé : $0,7 \times 0,02 = 0,014$
• Volaille $\rightarrow$ Non périmé : $0,7 \times 0,98 = 0,686$

b) Trouver la probabilité que le sac d'aliments soit périmé.

La probabilité qu'un sac d'aliments soit périmé est la somme des probabilités des chemins menant à un aliment périmé.

La probabilité que le sac d'aliments soit périmé est $\boxed{0,029}$.