एक गोले का व्यास के सिरे (1, 2, -3) और (5, 0, 1) है। गोले का समीकरण x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z + 10 = 0 के साथ प्रतिच्छेद कोण बराबर है

पहले गोले के व्यास के सिरे $A(1, 2, -3)$ और $B(5, 0, 1)$ हैं।
गोले का केंद्र $C_1$ व्यास के सिरों का मध्यबिंदु होता है:

$$C_1 = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{-3+1}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (3, 1, -1)$$

गोले की त्रिज्या $R_1$ व्यास की आधी होती है। व्यास की लंबाई $AB$ है:

$$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (0-2)^2 + (1-(-3))^2}$$ $$AB = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2}$$ $$AB = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$$ $$R_1 = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

दूसरे गोले का समीकरण है: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 10 = 0$
एक गोले का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ होता है, जिसका केंद्र $(-u, -v, -w)$ और त्रिज्या $\sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d}$ होती है।
दिए गए समीकरण की तुलना करने पर:
$2u = -2 \Rightarrow u = -1$
$2v = -4 \Rightarrow v = -2$
$2w = -6 \Rightarrow w = -3$
$d = 10$
गोले का केंद्र $C_2 = (-u, -v, -w) = (1, 2, 3)$
गोले की त्रिज्या $R_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-3)^2 - 10}$

$$R_2 = \sqrt{1 + 4 + 9 - 10} = \sqrt{14 - 10} = \sqrt{4} = 2$$

केंद्र $C_1 = (3, 1, -1)$ और $C_2 = (1, 2, 3)$ के बीच की दूरी $d$ है:

$$d = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (-1-3)^2}$$ $$d = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-4)^2}$$ $$d = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$$

दो गोलों के प्रतिच्छेद कोण $\theta$ का सूत्र है:

$$\cos \theta = \frac{R_1^2 + R_2^2 - d^2}{2R_1R_2}$$

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$$\cos \theta = \frac{3^2 + 2^2 - (\sqrt{21})^2}{2 \times 3 \times 2}$$ $$\cos \theta = \frac{9 + 4 - 21}{12}$$ $$\cos \theta = \frac{13 - 21}{12}$$ $$\cos \theta = \frac{-8}{12}$$ $$\cos \theta = -\frac{2}{3}$$

इसलिए, प्रतिच्छेद कोण $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)$ है।

यह मान विकल्प (3) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(3) } \cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)$.