यदि 2x2 + 3y2 + 4z2 + 2y(z - k) + 4z(x + k2 + k) + 6xy = 0, शंकु का समीकरण है, तो k बराबर है

एक शंकु जिसका शीर्ष मूलबिंदु पर होता है, उसका समीकरण सजातीय (homogeneous) होता है। इसका मतलब है कि समीकरण के प्रत्येक पद की घात समान होनी चाहिए। दिए गए समीकरण में, सभी पदों की घात 2 होनी चाहिए।

दिए गए समीकरण है:
$2x^2 + 3y^2 + 4z^2 + 2y(z-k) + 4z(x+k^2+K) + 6xy = 0$
इसे विस्तारित करने पर:
$2x^2 + 3y^2 + 4z^2 + 2yz - 2ky + 4zx + 4k^2z + 4Kz + 6xy = 0$

• $2x^2$ (घात 2)
• $3y^2$ (घात 2)
• $4z^2$ (घात 2)
• $2yz$ (घात 2)
• $-2ky$ (घात 1)
• $4zx$ (घात 2)
• $4k^2z$ (घात 1)
• $4Kz$ (घात 1)
• $6xy$ (घात 2)

चूंकि शंकु का शीर्ष मूलबिंदु पर है, इसलिए सभी घात 1 वाले पद शून्य होने चाहिए।
घात 1 वाले पद हैं: $-2ky$, $4k^2z$, और $4Kz$।
इनका योग शून्य होना चाहिए:
$-2ky + 4k^2z + 4Kz = 0$
यह समीकरण सभी $y$ और $z$ के लिए सत्य होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $y$ और $z$ के गुणांक स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए।

$y$ का गुणांक: $-2k = 0 \implies k = 0$
$z$ का गुणांक: $4k^2 + 4K = 0$

$k=0$ को $z$ के गुणांक के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(0)^2 + 4K = 0$
$0 + 4K = 0$
$4K = 0$
$K = 0$

अतः, $K$ का मान 0 है। यह विकल्प (2) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(2) } 0$.