अंकों 3, 3, 4, 4, 5, 5 का प्रयोग करके एक सात अंकों की संख्या बनायी जाती है। इस सात अंको की संख्या से विभाजित होने की प्रायिकता है —

दिए गए अंक हैं: $3, 3, 4, 4, 4, 5, 5$ (कुल 7 अंक)।
इन अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सभी 7-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या (Total number of arrangements) ज्ञात करने के लिए, हम पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय (permutations with repetition) के सूत्र का उपयोग करते हैं:

$$N_{कुल} = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$$

यहाँ $n=7$ (कुल अंक), $n_1=2$ (अंक 3 की पुनरावृत्ति), $n_2=3$ (अंक 4 की पुनरावृत्ति), और $n_3=2$ (अंक 5 की पुनरावृत्ति)।

$$N_{कुल} = \frac{7!}{2! \cdot 3! \cdot 2!}$$ $$N_{कुल} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)}$$ $$N_{कुल} = \frac{5040}{2 \times 6 \times 2} = \frac{5040}{24} = 210$$

तो, कुल 210 अलग-अलग 7-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

कोई संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक सम हो। दिए गए अंकों में, केवल अंक 4 ही सम है।
इसलिए, संख्या के 2 से विभाज्य होने के लिए, अंतिम अंक 4 होना चाहिए।
हम अंतिम स्थान पर एक 4 को स्थिर करते हैं। अब हमारे पास पहले 6 स्थानों के लिए शेष 6 अंक हैं: $3, 3, 4, 4, 5, 5$ (एक 4 का उपयोग हो चुका है)।
इन 6 अंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या (Number of favorable arrangements) ज्ञात करें:
यहाँ $n=6$ (शेष अंक), $n_1=2$ (अंक 3 की पुनरावृत्ति), $n_2=2$ (अंक 4 की पुनरावृत्ति), और $n_3=2$ (अंक 5 की पुनरावृत्ति)।

$$N_{अनुकूल} = \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}$$ $$N_{अनुकूल} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)}$$ $$N_{अनुकूल} = \frac{720}{2 \times 2 \times 2} = \frac{720}{8} = 90$$

तो, 90 संख्याएँ ऐसी हैं जो 2 से विभाज्य हैं।

प्रायिकता (Probability) अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है:

$$P = \frac{N_{अनुकूल}}{N_{कुल}}$$ $$P = \frac{90}{210}$$

भिन्न को सरल बनाने पर:

$$P = \frac{9}{21}$$

अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करने पर:

$$P = \frac{3}{7}$$

यह विकल्प (4) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(4) } \frac{3}{7}$.