This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: दिए गए अंकों को पहचानें और कुल संभावित संख्याओं की गणना करें। दिए गए अंक हैं: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 (कुल 7 अंक)। इन अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सभी 7-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या (Total number of arrangements) ज्ञात करने के लिए, हम पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय (permutations with repetition) के सूत्र का उपयोग करते हैं: N_कुल = (n!)/(n_1! n_2! n_k!) यहाँ n=7 (कुल अंक), n_1=2 (अंक 3 की पुनरावृत्ति), n_2=3 (अंक 4 की पुनरावृत्ति), और n_3=2 (अंक 5 की पुनरावृत्ति)। N_कुल = (7!)/(2! · 3! · 2!) N_कुल = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/((2 × 1) × (3 × 2 × 1) × (2 × 1)) N_कुल = (5040)/(2 × 6 × 2) = (5040)/(24) = 210 तो, कुल 210 अलग-अलग 7-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं। Step 2: 2 से विभाज्य होने वाली संख्याओं की गणना करें। कोई संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक सम हो। दिए गए अंकों में, केवल अंक 4 ही सम है। इसलिए, संख्या के 2 से विभाज्य होने के लिए, अंतिम अंक 4 होना चाहिए। हम अंतिम स्थान पर एक 4 को स्थिर करते हैं। अब हमारे पास पहले 6 स्थानों के लिए शेष 6 अंक हैं: 3, 3, 4, 4, 5, 5 (एक 4 का उपयोग हो चुका है)। इन 6 अंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या (Number of favorable arrangements) ज्ञात करें: यहाँ n=6 (शेष अंक), n_1=2 (अंक 3 की पुनरावृत्ति), n_2=2 (अंक 4 की पुनरावृत्ति), और n_3=2 (अंक 5 की पुनरावृत्ति)। N_अनुकूल = (6!)/(2! · 2! · 2!) N_अनुकूल = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/((2 × 1) × (2 × 1) × (2 × 1)) N_अनुकूल = (720)/(2 × 2 × 2) = (720)/(8) = 90 तो, 90 संख्याएँ ऐसी हैं जो 2 से विभाज्य हैं। Step 3: प्रायिकता की गणना करें। प्रायिकता (Probability) अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है: P = N_अनुकूलN_कुल P = (90)/(210) भिन्न को सरल बनाने पर: P = (9)/(21) अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करने पर: P = (3)/(7) यह विकल्प (4) से मेल खाता है। The final answer is (4) (3)/(7). Drop the next question.