यदि श्रेणी 4.7.........(3n+1) / 1.2.3......n xⁿ (x>0) अभिसारी है, तो निम्न में से कौनसा सत्य है?

दी गई श्रेणी है:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n}{4 \cdot 7 \cdot \dots \cdot (3n+1)} x^n$$

श्रेणी का $n$-वाँ पद $u_n$ है:

$$u_n = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n}{4 \cdot 7 \cdot \dots \cdot (3n+1)} x^n$$

इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

$$u_n = \frac{n!}{4 \cdot 7 \cdot \dots \cdot (3n+1)} x^n$$

$u_{n+1}$ प्राप्त करने के लिए, $n$ को $(n+1)$ से प्रतिस्थापित करें:

$$u_{n+1} = \frac{(n+1)!}{4 \cdot 7 \cdot \dots \cdot (3n+1) \cdot (3(n+1)+1)} x^{n+1}$$ $$u_{n+1} = \frac{(n+1)!}{4 \cdot 7 \cdot \dots \cdot (3n+1) \cdot (3n+4)} x^{n+1}$$

अभिसरण के लिए, हम अनुपात परीक्षण का उपयोग करेंगे, जिसके लिए हमें $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right|$ की गणना करनी होगी।

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{4 \cdot 7 \cdot \dots \cdot (3n+1) \cdot (3n+4)} x^{n+1}}{\frac{n!}{4 \cdot 7 \cdot \dots \cdot (3n+1)} x^n}$$

पदों को रद्द करने पर:

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{3n+4} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n}$$ $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = (n+1) \cdot \frac{1}{3n+4} \cdot x$$ $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{3n+4} x$$

चूंकि $x > 0$ दिया गया है, हम निरपेक्ष मान हटा सकते हैं।

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{3n+4} x$$

अंश और हर से $n$ को उभयनिष्ठ लेने पर:

$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{n(1 + \frac{1}{n})}{n(3 + \frac{4}{n})} x$$ $$L = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{3 + \frac{4}{n}} x$$

जैसे $n \to \infty$, $\frac{1}{n} \to 0$ और $\frac{4}{n} \to 0$:

$$L = \frac{1 + 0}{3 + 0} x = \frac{1}{3} x$$

अनुपात परीक्षण के अनुसार, श्रेणी अभिसारी होती है यदि $L < 1$।

$$\frac{1}{3} x < 1$$ $$x < 3$$

प्रश्न में दिया गया है कि $x > 0$।
अतः, अभिसरण की शर्त है $0 < x < 3$।

जब $x=3$, तो $L=1$, और अनुपात परीक्षण अनिर्णायक होता है। इस स्थिति में, हम राबे के परीक्षण (Raabe's Test) का उपयोग करते हैं।

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+1}{3n+4} \cdot 3 = \frac{3n+3}{3n+4}$$

राबे का परीक्षण: $\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 \right) = L'$

$$\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{3n+4}{3n+3}$$ $$\frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 = \frac{3n+4}{3n+3} - 1 = \frac{3n+4 - (3n+3)}{3n+3} = \frac{1}{3n+3}$$ $$L' = \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{3n+3} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3n+3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{3}{n}} = \frac{1}{3}$$

चूंकि $L' = \frac{1}{3} < 1$, राबे के परीक्षण के अनुसार, श्रेणी $x=3$ पर अपसारी (diverges) है।

इसलिए, श्रेणी केवल $0 < x < 3$ के लिए अभिसारी है।

दिए गए विकल्पों में से, विकल्प (3) $0 < x < 3$ सही है।

The final answer is $\text{(3) } 0 < x < 3$.