यदि श्रेणी 4.7.........(3n+1) / 1.2.3......n x^n (x>0) अभिसारी है, तो निम्न में से कौनसा सत्य है?

Step 1: दी गई श्रेणी के n-वें पद को पहचानें। दी गई श्रेणी है: _n=1^ (1 · 2 · 3 · · n)/(4 · 7 · · (3n+1)) x^n श्रेणी का n-वाँ पद u_n है: u_n = (1 · 2 · 3 · · n)/(4 · 7 · · (3n+1)) x^n इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: u_n = (n!)/(4 · 7 · · (3n+1)) x^n Step 2: (n+1)-वें पद को ज्ञात करें। u_n+1 प्राप्त करने के लिए, n को (n+1) से प्रतिस्थापित करें: u_n+1 = ((n+1)!)/(4 · 7 · · (3n+1) · (3(n+1)+1)) x^n+1 u_n+1 = ((n+1)!)/(4 · 7 · · (3n+1) · (3n+4)) x^n+1 Step 3: अनुपात परीक्षण (Ratio Test) लागू करें। अभिसरण के लिए, हम अनुपात परीक्षण का उपयोग करेंगे, जिसके लिए हमें _n | u_n+1u_n | की गणना करनी होगी। u_n+1u_n = ((n+1)!)/(4 · 7 · · (3n+1) · (3n+4)) x^n+1(n!)/(4 · 7 · · (3n+1)) x^n पदों को रद्द करने पर: u_n+1u_n = ((n+1)!)/(n!) · (1)/(3n+4) · x^n+1x^n u_n+1u_n = (n+1) · (1)/(3n+4) · x u_n+1u_n = (n+1)/(3n+4) x Step 4: सीमा (Limit) की गणना करें। चूंकि x > 0 दिया गया है, हम निरपेक्ष मान हटा सकते हैं। L = _n (n+1)/(3n+4) x अंश और हर से n को उभयनिष्ठ लेने पर: L = _n (n(1 + 1)/(n))n(3 + (4)/(n)) x L = _n (1 + 1)/(n)3 + (4)/(n) x जैसे n , (1)/(n) 0 और (4)/(n) 0: L = (1 + 0)/(3 + 0) x = (1)/(3) x Step 5: अभिसरण की शर्त ज्ञात करें। अनुपात परीक्षण के अनुसार, श्रेणी अभिसारी होती है यदि L < 1। (1)/(3) x < 1 x < 3 प्रश्न में दिया गया है कि x > 0। अतः, अभिसरण की शर्त है 0 < x < 3। Step 6: x=3 पर अभिसरण की जाँच करें (यदि आवश्यक हो)। जब x=3, तो L=1, और अनुपात परीक्षण अनिर्णायक होता है। इस स्थिति में, हम राबे के परीक्षण (Raabe's Test) का उपयोग करते हैं। u_n+1u_n = (n+1)/(3n+4) · 3 = (3n+3)/(3n+4) राबे का परीक्षण: _n n ( (u_n)/(u_n+1) - 1 ) = L' (u_n)/(u_n+1) = (3n+4)/(3n+3) (u_n)/(u_n+1) - 1 = (3n+4)/(3n+3) - 1 = (3n+4 - (3n+3))/(3n+3) = (1)/(3n+3) L' = _n n ( (1)/(3n+3) ) = _n (n)/(3n+3) = _n (1)/(3 + 3)n = (1)/(3) चूंकि L' = (1)/(3) < 1, राबे के परीक्षण के अनुसार, श्रेणी x=3 पर अपसारी (diverges) है। इसलिए, श्रेणी केवल 0 < x < 3 के लिए अभिसारी है। Step 7: सही विकल्प का चयन करें। दिए गए विकल्पों में से, विकल्प (3) 0 < x < 3 सही है। The final answer is (3) 0 < x < 3. अगला प्रश्न भेजें 📸