A function f: R R is defined by f(x) = {4 + 4x, if x < 1. 4x - - 4 if x > 1. If f(x) has a limit at x = 1, the value of is

Pour $x < 1$, la fonction est $f(x) = 4\beta + 4x$.
La limite à gauche est :

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (4\beta + 4x)$$

En substituant $x=1$, on obtient :

$$4\beta + 4(1) = 4\beta + 4$$

Pour $x > 1$, la fonction est $f(x) = 4x - \beta^2 - 4$.
La limite à droite est :

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4x - \beta^2 - 4)$$

En substituant $x=1$, on obtient :

$$4(1) - \beta^2 - 4 = 4 - \beta^2 - 4 = -\beta^2$$

Pour que $f(x)$ ait une limite en $x=1$, les limites à gauche et à droite doivent être égales :

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$$ $$4\beta + 4 = -\beta^2$$

Réarrangeons l'équation pour obtenir une forme standard $a\beta^2 + b\beta + c = 0$ :

$$\beta^2 + 4\beta + 4 = 0$$

Cette équation est un trinôme carré parfait, qui peut être factorisé comme $(\beta+2)^2 = 0$.
En prenant la racine carrée des deux côtés :

$$\beta + 2 = 0$$ $$\beta = -2$$

La valeur de $\beta$ est $-2$.

$$\boxed{\beta = -2}$$