ABCD एक वर्ग है।

दिए गए हल में, विकर्ण BD की लंबाई दूरी सूत्र का उपयोग करके निकाली गई है:

हल में यह भी बताया गया है कि सभी चारों भुजाएँ बराबर हैं ($AB = BC = CD = DA$) और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं ($AC = BD$)।

एक चतुर्भुज एक वर्ग होता है यदि उसकी सभी चारों भुजाएँ बराबर हों और उसके दोनों विकर्ण भी बराबर हों। चूंकि यहाँ $AB = BC = CD = DA$ और $AC = BD$ है, इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

दूसरा तरीका (वैकल्पिक हल - भुजाओं की समानता और एक समकोण का उपयोग करके):

इस विधि में भी, यह माना गया है कि सभी चारों भुजाएँ बराबर हैं (जैसा कि पहले तरीके में बताया गया है)। हल में एक विकर्ण AC की लंबाई का वर्ग $AC^2 = 68$ दिया गया है।

हल में दिखाया गया है कि $AD^2 + DC^2 = 34 + 34 = 68$ है। चूंकि $AC^2 = 68$ है, तो हम कह सकते हैं कि $AD^2 + DC^2 = AC^2$। यह त्रिभुज ADC में पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर हो, तो तीसरी भुजा के सामने वाला कोण समकोण होता है। इसलिए, $\angle D = 90^\circ$ है।

एक चतुर्भुज एक वर्ग होता है यदि उसकी सभी चारों भुजाएँ बराबर हों और उसका कोई एक कोण समकोण हो। चूंकि यहाँ सभी चारों भुजाएँ बराबर हैं और $\angle D = 90^\circ$ है, इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

दोनों ही तरीकों से यह सिद्ध होता है कि चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।