This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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यहाँ दिए गए हल में चतुर्भुज ABCD को वर्ग सिद्ध करने के दो तरीके बताए गए हैं: पहला तरीका (विकर्णों और भुजाओं की समानता का उपयोग करके): Step 1: भुजाओं और विकर्णों की लंबाई ज्ञात करना। दिए गए हल में, विकर्ण BD की लंबाई दूरी सूत्र का उपयोग करके निकाली गई है: BD = sqrt((4+4)^2 + (2-4)^2) = sqrt(8^2 + (-2)^2) = sqrt(64+4) = sqrt(68) हल में यह भी बताया गया है कि सभी चारों भुजाएँ बराबर हैं (AB = BC = CD = DA) और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं (AC = BD)। Step 2: वर्ग की परिभाषा का उपयोग करके निष्कर्ष निकालना। एक चतुर्भुज एक वर्ग होता है यदि उसकी सभी चारों भुजाएँ बराबर हों और उसके दोनों विकर्ण भी बराबर हों। चूंकि यहाँ AB = BC = CD = DA और AC = BD है, इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। दूसरा तरीका (वैकल्पिक हल - भुजाओं की समानता और एक समकोण का उपयोग करके): Step 1: भुजाओं की लंबाई और एक विकर्ण की लंबाई ज्ञात करना। इस विधि में भी, यह माना गया है कि सभी चारों भुजाएँ बराबर हैं (जैसा कि पहले तरीके में बताया गया है)। हल में एक विकर्ण AC की लंबाई का वर्ग AC^2 = 68 दिया गया है। Step 2: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का उपयोग करके एक कोण को समकोण सिद्ध करना। हल में दिखाया गया है कि AD^2 + DC^2 = 34 + 34 = 68 है। चूंकि AC^2 = 68 है, तो हम कह सकते हैं कि AD^2 + DC^2 = AC^2। यह त्रिभुज ADC में पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर हो, तो तीसरी भुजा के सामने वाला कोण समकोण होता है। इसलिए, D = 90^ है। Step 3: वर्ग की परिभाषा का उपयोग करके निष्कर्ष निकालना। एक चतुर्भुज एक वर्ग होता है यदि उसकी सभी चारों भुजाएँ बराबर हों और उसका कोई एक कोण समकोण हो। चूंकि यहाँ सभी चारों भुजाएँ बराबर हैं और D = 90^ है, इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। दोनों ही तरीकों से यह सिद्ध होता है कि चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। Send me the next one 📸