Déterminer la représentation paramétrique, l'équation cartésienne et le point d'intersection de deux droites données.

Voici les solutions détaillées :

Partie I : Droites (D) et (D')
La droite (D) a pour équation $2x - 3y + 6 = 0$.
La droite (D') passe par le point $A(4, 2)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(1, -4)$.

1) Représentation paramétrique de la droite (D'):
Une droite passant par un point $(x_0, y_0)$ et ayant un vecteur directeur $(u_x, u_y)$ a pour représentation paramétrique :

$$\begin{cases} x = x_0 + t \cdot u_x \\ y = y_0 + t \cdot u_y \end{cases}$$

En utilisant $A(4, 2)$ et $\vec{u}(1, -4)$ :

$$\boxed{ \begin{cases} x = 4 + t \\ y = 2 - 4t \end{cases} }$$

2) Équation cartésienne de (D'):
À partir de la représentation paramétrique :
$x = 4 + t \implies t = x - 4$
$y = 2 - 4t$
Substituons $t$ dans la deuxième équation :
$y = 2 - 4(x - 4)$
$y = 2 - 4x + 16$
$y = -4x + 18$
Réarrangeons pour obtenir la forme $ax + by + c = 0$ :
$4x + y - 18 = 0$
L'équation cartésienne de (D') est :

$$\boxed{4x + y - 18 = 0}$$

3) Montrer que (D) et (D') sont sécantes et déterminer leurs coordonnées d'intersection.
Le vecteur directeur de (D) (d'équation $2x - 3y + 6 = 0$) est $\vec{v}(3, 2)$.
Le vecteur directeur de (D') est $\vec{u}(1, -4)$.
Pour vérifier si les droites sont sécantes, nous vérifions si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
$\vec{v} = k \vec{u} \implies (3, 2) = k(1, -4)$
$3 = k \cdot 1 \implies k = 3$
$2 = k \cdot (-4) \implies k = -\frac{1}{2}$
Puisque les valeurs de $k$ sont différentes ($3 \neq -\frac{1}{2}$), les vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc, les droites (D) et (D') sont sécantes.

Pour trouver le point d'intersection, nous résolvons le système d'équations :

$$\begin{cases} 2x - 3y + 6 = 0 \quad (1) \\ 4x + y - 18 = 0 \quad (2) \end{cases}$$

De l'équation (2), nous pouvons exprimer $y$ :
$y = 18 - 4x$
Substituons cette expression de $y$ dans l'équation (1) :
$2x - 3(18 - 4x) + 6 = 0$
$2x - 54 + 12x + 6 = 0$
$14x - 48 = 0$
$14x = 48$
$x = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$
Maintenant, substituons la valeur de $x$ dans l'expression de $y$ :
$y = 18 - 4\left(\frac{24}{7}\right)$
$y = 18 - \frac{96}{7}$
$y = \frac{18 \cdot 7 - 96}{7}$
$y = \frac{126 - 96}{7}$
$y = \frac{30}{7}$
Les coordonnées du point d'intersection sont :

$$\boxed{\left(\frac{24}{7}, \frac{30}{7}\right)}$$

Partie II : Points A, B, C et Droite (D1)
Points : $A(1, 5)$, $B(4, 1)$, $C(-2, 6)$.
La droite (D1) a pour représentation paramétrique :

$$$$