Déterminer la représentation paramétrique, l'équation cartésienne et le point d'intersection de deux droites données.

Hey M., good to see you again. Voici les solutions détaillées : Partie I : Droites (D) et (D') La droite (D) a pour équation 2x - 3y + 6 = 0. La droite (D') passe par le point A(4, 2) et a pour vecteur directeur u(1, -4). 1) Représentation paramétrique de la droite (D'): Une droite passant par un point (x_0, y_0) et ayant un vecteur directeur (u_x, u_y) a pour représentation paramétrique : x = x_0 + t · u_x \\ y = y_0 + t · u_y En utilisant A(4, 2) et u(1, -4) : x = 4 + t \\ y = 2 - 4t 2) Équation cartésienne de (D'): À partir de la représentation paramétrique : x = 4 + t t = x - 4 y = 2 - 4t Substituons t dans la deuxième équation : y = 2 - 4(x - 4) y = 2 - 4x + 16 y = -4x + 18 Réarrangeons pour obtenir la forme ax + by + c = 0 : 4x + y - 18 = 0 L'équation cartésienne de (D') est : 4x + y - 18 = 0 3) Montrer que (D) et (D') sont sécantes et déterminer leurs coordonnées d'intersection. Le vecteur directeur de (D) (d'équation 2x - 3y + 6 = 0) est v(3, 2). Le vecteur directeur de (D') est u(1, -4). Pour vérifier si les droites sont sécantes, nous vérifions si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. v = k u (3, 2) = k(1, -4) 3 = k · 1 k = 3 2 = k · (-4) k = -(1)/(2) Puisque les valeurs de k sont différentes (3 ≠ -(1)/(2)), les vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc, les droites (D) et (D') sont sécantes. Pour trouver le point d'intersection, nous résolvons le système d'équations : 2x - 3y + 6 = 0 (1) \\ 4x + y - 18 = 0 (2) De l'équation (2), nous pouvons exprimer y : y = 18 - 4x Substituons cette expression de y dans l'équation (1) : 2x - 3(18 - 4x) + 6 = 0 2x - 54 + 12x + 6 = 0 14x - 48 = 0 14x = 48 x = (48)/(14) = (24)/(7) Maintenant, substituons la valeur de x dans l'expression de y : y = 18 - 4((24)/(7)) y = 18 - (96)/(7) y = (18 · 7 - 96)/(7) y = (126 - 96)/(7) y = (30)/(7) Les coordonnées du point d'intersection sont : ((24)/(7), (30)/(7)) Partie II : Points A, B, C et Droite (D1) Points : A(1, 5), B(4, 1), C(-2, 6). La droite (D1) a pour représentation paramétrique :