Find the derivatives of the given functions and determine the value of 'c' for Rolle's Theorem.

$$ق'(س) = \frac{d}{dx}(x - 3) = 1$$ $$ه'(س) = \frac{d}{dx}(x - 4) = 1$$

$$د'(س) = (1)(س - 4) + (س - 3)(1)$$ $$د'(س) = س - 4 + س - 3$$ $$د'(س) = 2س - 7$$

المشتقة هي $\boxed{\text{2س - 7}}$

المسألة 9:
إذا كانت $ص = \text{جتا س}$، فإن $\frac{د ص}{د س}$
هذا اشتقاق مباشر لدالة جيب التمام.

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$ $$\frac{د ص}{د س} = -\text{جا س}$$

المشتقة هي $\boxed{\text{-جا س}}$

المسألة 10:
إذا كانت $د(س) = س^3 + 2س + 1$ تحقق شروط مبرهنة رول على $[0, 1]$، فإن قيمة $ج$ التي تحقق النتيجة
مبرهنة رول تتطلب أن تكون $د(أ) = د(ب)$. لنحسب $د(0)$ و $د(1)$:

$$د(0) = (0)^3 + 2(0) + 1 = 1$$ $$د(1) = (1)^3 + 2(1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$$

بما أن $د(0) \neq د(1)$، فإن شروط مبرهنة رول غير محققة.
لذلك، لا توجد قيمة $ج$ تحقق النتيجة بناءً على مبرهنة رول.
إذا كان السؤال يطلب إيجاد $ج$ حيث $د'(ج) = 0$ بغض النظر عن مبرهنة رول:

$$3x^2 + 2 = 0$$ $$3x^2 = -2$$ $$x^2 = -\frac{2}{3}$$

لا يوجد حل حقيقي لهذه المعادلة.
الإجابة هي $\boxed{\text{لا توجد قيمة لـ ج}}$

المسألة 11:
إذا كانت $د(س)$ متصلة على $[أ, ب]$ وقابلة للاشتقاق على $(أ, ب)$، فإن $د(س)$ تناقصية على $[أ, ب]$ إذا كان $د'(س) < 0$ لكل $س \in (أ, ب)$.
هذا التعريف صحيح للدالة التناقصية.
الإجابة هي $\boxed{\text{صحيح}}$

المسألة 12:
الدالة $د(س) = س^3 - 3س + 5$ مقعرة نحو الأعلى على الفترة $[2, \infty]$.
لتحديد تقعر الدالة، نحتاج إلى إيجاد المشتقة الثانية $د''(س)$.

الدالة تكون مقعرة نحو الأعلى عندما $د''(س) > 0$.

$$6x > 0 \implies x > 0$$

بما أن