Find the derivatives of the given functions and determine the value of 'c' for Rolle's Theorem.

بالتأكيد، إليك حلول المسائل باللغة العربية: المسألة 8: إذا كانت د(س) = (س - 3)(س - 4)، فإن د'(س) نستخدم قاعدة الضرب للاشتقاق: إذا كانت د(س) = ق(س) · ه(س)، فإن د'(س) = ق'(س)ه(س) + ق(س)ه'(س). هنا، ق(س) = س - 3 و ه(س) = س - 4. الخطوة 1: أوجد مشتقة ق(س) و ه(س). ق'(س) = (d)/(dx)(x - 3) = 1 ه'(س) = (d)/(dx)(x - 4) = 1 الخطوة 2: طبق قاعدة الضرب. د'(س) = (1)(س - 4) + (س - 3)(1) د'(س) = س - 4 + س - 3 د'(س) = 2س - 7 المشتقة هي 2س - 7 المسألة 9: إذا كانت ص = جتا س، فإن (د ص)/(د س) هذا اشتقاق مباشر لدالة جيب التمام. الخطوة 1: أوجد مشتقة دالة جيب التمام. (d)/(dx)( x) = - x (د ص)/(د س) = -جا س المشتقة هي -جا س المسألة 10: إذا كانت د(س) = س^3 + 2س + 1 تحقق شروط مبرهنة رول على [0, 1]، فإن قيمة ج التي تحقق النتيجة مبرهنة رول تتطلب أن تكون د(أ) = د(ب). لنحسب د(0) و د(1): د(0) = (0)^3 + 2(0) + 1 = 1 د(1) = (1)^3 + 2(1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 بما أن د(0) ≠ د(1)، فإن شروط مبرهنة رول غير محققة. لذلك، لا توجد قيمة ج تحقق النتيجة بناءً على مبرهنة رول. إذا كان السؤال يطلب إيجاد ج حيث د'(ج) = 0 بغض النظر عن مبرهنة رول: الخطوة 1: أوجد المشتقة الأولى د'(س). د'(س) = (d)/(dx)(x^3 + 2x + 1) = 3x^2 + 2 الخطوة 2: ضع د'(س) = 0. 3x^2 + 2 = 0 3x^2 = -2 x^2 = -(2)/(3) لا يوجد حل حقيقي لهذه المعادلة. الإجابة هي لا توجد قيمة لـ ج المسألة 11: إذا كانت د(س) متصلة على [أ, ب] وقابلة للاشتقاق على (أ, ب)، فإن د(س) تناقصية على [أ, ب] إذا كان د'(س) < 0 لكل س (أ, ب). هذا التعريف صحيح للدالة التناقصية. الإجابة هي صحيح المسألة 12: الدالة د(س) = س^3 - 3س + 5 مقعرة نحو الأعلى على الفترة [2, ]. لتحديد تقعر الدالة، نحتاج إلى إيجاد المشتقة الثانية د''(س). الخطوة 1: أوجد المشتقة الأولى د'(س). د'(س) = (d)/(dx)(x^3 - 3x + 5) = 3x^2 - 3 الخطوة 2: أوجد المشتقة الثانية د''(س). د''(س) = (d)/(dx)(3x^2 - 3) = 6x الخطوة 3: حدد إشارة د''(س) على الفترة [2, ). الدالة تكون مقعرة نحو الأعلى عندما د''(س) > 0. 6x > 0 x > 0 بما أن