Discuss the convergence of the integral from 0 to 1 of x^p / sqrt(1-x) dx

Question

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यह एक अनुचित समाकलन (improper integral) है क्योंकि $x=1$ पर हर (denominator) शून्य हो जाता है, जिससे फलन (function) अपरिभाषित हो जाता है। हम इसकी अभिसारिता (convergence) की जाँच करने के लिए समाकलन का मूल्यांकन करेंगे।

प्रतिस्थापन (Substitution) का उपयोग करें।
मान लीजिए $u = 1-x$ .
तो $x = 1-u$ और $dx = -du$ .
जब $x=0$ , $u=1$ .
जब $x=1$ , $u=0$ .
समाकलन को $u$ के पदों में बदलें।
$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx = \int_1^0 \frac{1-u}{\sqrt{u}}(-du)$
समाकलन की सीमाओं को पलटने पर ऋणात्मक चिह्न धनात्मक हो जाता है:
$= \int_0^1 \frac{1-u}{\sqrt{u}}\,du$ $= \int_0^1 \left(\frac{1}{\sqrt{u}} - \frac{u}{\sqrt{u}}\right)\,du$ $= \int_0^1 \left(u^{-1/2} - u^{1/2}\right)\,du$
समाकलन करें।
$\left[\frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} - \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}\right]_0^1$ $= \left[\frac{u^{1/2}}{1/2} - \frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_0^1$ $= \left[2\sqrt{u} - \frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^1$
सीमाओं पर मूल्यांकन करें।
$\left(2\sqrt{1} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}\right) - \lim_{a \to 0^+} \left(2\sqrt{a} - \frac{2}{3}a^{3/2}\right)$ $= \left(2 - \frac{2}{3}\right) - (0 - 0)$ $= \frac{6-2}{3}$ $= \frac{4}{3}$
चूंकि समाकलन का मान एक परिमित संख्या ( $\frac{4}{3}$ ) है, इसलिए समाकलन अभिसारी (convergent) है।

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Step-by-step solution

प्रतिस्थापन (Substitution) का उपयोग करें।

समाकलन को $u$ के पदों में बदलें।

समाकलन करें।

सीमाओं पर मूल्यांकन करें।

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प्रतिस्थापन (Substitution) का उपयोग करें।

समाकलन को uuu के पदों में बदलें।

समाकलन करें।

सीमाओं पर मूल्यांकन करें।

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समाकलन को $u$ के पदों में बदलें।