This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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यह एक अनुचित समाकलन (improper integral) है क्योंकि x=1 पर हर (denominator) शून्य हो जाता है, जिससे फलन (function) अपरिभाषित हो जाता है। हम इसकी अभिसारिता (convergence) की जाँच करने के लिए समाकलन का मूल्यांकन करेंगे। Step 1: प्रतिस्थापन (Substitution) का उपयोग करें। मान लीजिए u = 1-x. तो x = 1-u और dx = -du. जब x=0, u=1. जब x=1, u=0. Step 2: समाकलन को u के पदों में बदलें। _0^1 (x)/(sqrt(1-x))\,dx = _1^0 (1-u)/(sqrt(u))(-du) समाकलन की सीमाओं को पलटने पर ऋणात्मक चिह्न धनात्मक हो जाता है: = _0^1 (1-u)/(sqrt(u))\,du = _0^1 ((1)/(sqrt(u)) - (u)/(sqrt(u)))\,du = _0^1 (u^-1/2 - u^1/2)\,du Step 3: समाकलन करें। [u^-1/2+1-1/2+1 - u^1/2+11/2+1]_0^1 = [u^1/21/2 - u^3/23/2]_0^1 = [2sqrt(u) - (2)/(3)u^3/2]_0^1 Step 4: सीमाओं पर मूल्यांकन करें। (2sqrt(1) - (2)/(3)(1)^3/2) - _a 0^+ (2sqrt(a) - (2)/(3)a^3/2) = (2 - (2)/(3)) - (0 - 0) = (6-2)/(3) = (4)/(3) चूंकि समाकलन का मान एक परिमित संख्या ((4)/(3)) है, इसलिए समाकलन अभिसारी (convergent) है। The integral is convergent and its value is (4)/(3). अगला प्रश्न भेजो 📸