Calculate the domain and study the parity of the following functions: f(x) = 3 − sqrt(2−x), g(x) = 3/(2x-2), f(x) = x3 + 3|x|, g(x) = 2/(x2-1). Also calculate the images of the numbers for h(x) = x +

بالتأكيد، سأقوم بحل التمرين الأول لك.

التمرين 1:

الخطوة 1: تحديد مجموعة تعريف الدوال التالية

• للدالة $f(x) = 3 - \sqrt{2-x}$: لكي تكون الدالة معرفة، يجب أن يكون ما تحت الجذر التربيعي غير سالب.

  $$2-x \ge 0$$ $$2 \ge x$$ $$x \le 2$$

  إذن، مجموعة تعريف الدالة $f$ هي:

  $$\boxed{D_f = (-\infty, 2]}$$

• للدالة $g(x) = \frac{3}{2x-2}$: لكي تكون الدالة معرفة، يجب ألا يكون المقام مساويًا للصفر.

  $$2x-2 \ne 0$$ $$2x \ne 2$$ $$x \ne 1$$

  إذن، مجموعة تعريف الدالة $g$ هي:

  $$\boxed{D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

الخطوة 2: دراسة زوجية أو فردية الدوال التالية

• للدالة $f(x) = x^3 + 3|x|$: مجموعة تعريف الدالة $f$ هي $\mathbb{R}$، وهي متماثلة بالنسبة للصفر. نحسب $f(-x)$:

  $$f(-x) = (-x)^3 + 3|-x| = -x^3 + 3|x|$$

  بمقارنة $f(-x)$ مع $f(x)$ و $-f(x)$: $f(-x) \ne f(x)$ (لأن $-x^3 \ne x^3$ بشكل عام). $f(-x) \ne -f(x)$ (لأن $-x^3 + 3|x| \ne -x^3 - 3|x|$ بشكل عام). إذن، الدالة $f$ ليست زوجية وليست فردية.

• للدالة $g(x) = \frac{2}{x^2-1}$: مجموعة تعريف الدالة $g$ هي $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$، وهي متماثلة بالنسبة للصفر. نحسب $g(-x)$:

  $$g(-x) = \frac{2}{(-x)^2-1} = \frac{2}{x^2-1}$$

  بما أن $g(-x) = g(x)$، فإن الدالة $g$ زوجية.

الخطوة 3: حساب صور الأعداد للدالة $h(x) = x + \frac{1}{x}$

• صورة 1: $$h(1) = 1 + \frac{1}{1} = 1+1 = \boxed{2}$$
• صورة $\sqrt{2}$: $$h(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2} = \boxed{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$$
• صورة 2: $$h(2) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4+1}{2} = \boxed{\frac{5}{2}}$$
• صورة $-\sqrt{2}$: $$h(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2} = \boxed{\frac{-3\sqrt{2}}{2}}$$

الخطوة 4: إثبات أن $h(x) - 2 = \frac{(x-1)^2}{x}$

نبدأ من الطرف الأيسر:

$$h(x) - 2 = \left(x + \frac{1}{x}\right) - 2$$

نوحد المقامات:

$$$$